Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

68 Глава 2. Скалярная задача
являются очевидными. Из (2.47) и (2.48) следует, что выполнены
условия A
h
1
. Далее, по определению
a
h
(0, u
h
, u
h
) = S
h
|∇u
h
|
2
+ 2π
N
n=−N
|n||a
n
(u
h
)|
2
> 0.
Учитывая (2.46), имеем ker A
h
(0) = {u
h
: u
h
= const в Ω}. Поэтому
r
0
= 1 и выполнены условия A
h
2
(см. замечание 1.2).
Поскольку σ
Ω
i
> 1 + σ
0
, то, учитывая (2.46) и следствие 2.6,
имеем при c
0
:= min{1, σ
0
}:
a
h
(p, u
h
, u
h
) + b
h
(u
h
, u
h
) > S
h
|∇u
h
|
2
+ σ
0
e∈Ω
i
S
e
u
2
h
>
> c
0
e∈Ω\Ω
i
S
e
|∇u
h
|
2
+
e∈Ω
i
S
e
|∇u
h
|
2
+ u
2
h
>
> c
Ω
|∇u
h
|
2
dx +
Ω
i
u
2
h
dx
> m
ab
∥u
h
∥
2
1,Ω
.
Отметим, что постоянная m
ab
зависит от Ω.
Перейдем к условию A
h
4
. Имеем (1 > σ/σ
+
):
b
h
(u, u) =
e∈Ω
i
S
e
(σ −1)u
2
> σ
0
e∈Ω
i
S
e
u
2
> σ
0
/σ
+
e∈Ω
i
S
e
σu
2
.
C другой стороны, очевидно, b
h
(u, u) 6
e∈Ω
i
S
e
σu
2
=: S(u). Поэтому,
если u ∈
V
h
1)
, то S(u) ̸= 0. Отсюда легко следует, что отнoшение
Рэлея R
h
(p, u) := a
h
(p, u, u)/b
h
(u, u) строго монотонно возрастает по
p при u ∈
V
h
(условие A
h
4
).
Проверим условие A
h
5
. Пусть u ∈ V
h
. Непрерывность в нуле функ-
ции p → a
h
(p, u, u) доказывается также, как и для формы a (см. лем-
му 2.8). Учитывая, что K
′
n
(r) > 0 при r > 0, имеем:
0 6
d
dp
a
h
(p, u, u) = 2p S
h
σu
2
+
d
dp
s
N
(p, u, u) 6 c p ∥u∥
2
0,V
h
+
+
d
dp
s
∞
(p, u, u) 6 c p ∥u∥
2
0,Ω
+
M
s
(p)∥u∥
2
1,Ω
6
M
a
(p)∥u∥
2
1,Ω
.
1)
V
h
есть ортогональное дополнение ker B
h
до пространства V
h,A
h
(p)+B
h
.
68                                                                   Глава 2. Скалярная задача


являются очевидными. Из (2.47) и (2.48) следует, что выполнены
условия Ah1 . Далее, по определению

                                 (        )   ∑
                                              N
            ah (0, uh , uh ) = Sh |∇uh | + 2π
                                        2
                                                |n| |an (uh )|2 > 0.
                                                         n=−N

Учитывая (2.46), имеем ker Ah (0) = {uh : uh = const в Ω}. Поэтому
r0 = 1 и выполнены условия Ah2 (см. замечание 1.2).
     Поскольку σ Ωi > 1 + σ0 , то, учитывая (2.46) и следствие 2.6,
имеем при c0 := min{1, σ0 }:
                                       (       )     ∑ ( )
  ah (p, uh , uh ) + bh (uh , uh ) > Sh |∇uh |2 + σ0  Se u2h >
                                                                e∈Ω
                      ( ∑          (        ) ∑ (
                                                      i
                                                              ))
               > c0              Se |∇uh | +
                                          2
                                               Se |∇uh | + uh >
                                                        2   2

                        e∈Ω\Ωi                   e∈Ωi
                                        (∫                      ∫              )
                                   >c         |∇uh | dx +
                                                     2
                                                                      u2h dx       > mab ∥uh ∥21,Ω .
                                          Ω                     Ωi

Отметим, что постоянная mab зависит от Ω.
   Перейдем к условию Ah4 . Имеем (1 > σ/σ+ ):
             ∑ (           )     ∑ ( )              ∑ (    )
 bh (u, u) =   Se (σ − 1)u2 > σ0     Se u2 > σ0 /σ+  Se σu2 .
                 e∈Ωi                           e∈Ωi                                e∈Ωi
                                        ∑ ( 2)
C другой стороны, очевидно, bh (u, u) 6  Se σu =: S(u). Поэтому,
                                                        e∈Ωi
если u ∈ Veh 1) , то S(u) ̸= 0. Отсюда легко следует, что отнoшение
Рэлея Rh (p, u) := ah (p, u, u)/bh (u, u) строго монотонно возрастает по
p при u ∈ Veh (условие Ah4 ).
    Проверим условие Ah5 . Пусть u ∈ Vh . Непрерывность в нуле функ-
ции p → ah (p, u, u) доказывается также, как и для формы a (см. лем-
му 2.8). Учитывая, что K′n (r) > 0 при r > 0, имеем:
         d                       (    )     d
 06         ah (p, u, u) = 2p Sh σu2 +         sN (p, u, u) 6 c p ∥u∥20,Vh +
         dp                                dp
                 d                               fs (p)∥u∥21,Ω 6 M fa (p)∥u∥21,Ω .
             +      s∞ (p, u, u) 6 c p ∥u∥20,Ω + M
                dp
 1) e
   Vh   есть ортогональное дополнение ker Bh до пространства Vh,Ah (p)+Bh .

Страницы