Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Оценки точности 69
Таким образом, A
h
(p) ∈ L(R
+
, V
h
).
Пусть N
b
h
:= dim(Im B
h
). Из теоремы 1.7, с. 27 (см. также заме-
чание 1.2 к нему), непосредственно следует
Теорема 2.14. При каждом p ∈ R
+
задача (P
h
) имеет конечное
число (скажем n
h
(p)) собственных чисел β
hK
(p) суммарной крат-
ности N
b
h
и соответствующих им собственных подпространств
U
K
h
(p), K = 1, 2, . . . , n
h
(p), V
h,A
h
(p)+B
h
=
n
h
(p)
⊕
K=1
U
K
h
(p) ⊕ ker B
h
.
Кроме того, если 0 6 β
h
1
(p) 6 β
h
2
(p) 6 . . . 6 β
h
N
b
h
(p) есть соб-
ственные числа, пронумерованные с учетом кратности, то:
функции p → β
h
i
(p), i = 1, 2, . . . , N
b
h
, являются непрерывными в
нуле, локально липшиц-непрерывными на (0, ∞) и строго монотон-
но возрастающими; β
h
1
(p) → 0 при p → +0; β
h
2
(0) > 0.
§ 4. Оценки точности
При каждом фиксированном p ∈ R
+
задача (P
h
) является схемой
Галеркина с возмущениями для задачи (P). Задачи такого типа были
нами изучены в главе 1.
Пусть, β
2
i
(p) и β
h2
i
(p), i = 1, 2, . . . — упорядоченные по возраста-
нию с учетом кратности собственные числа задачи (P) и (P
h
) соответ-
ственно, u
i
(p) и u
h
i
(p) — соответствующие им собственные функции.
Пусть далее β
K
(p) имеет кратность r
K
= r
K
(p), K > 1,
β
K
(p) = β
k
(p), β
k−1
(p) < β
k
(p) = . . . = β
k+r
K
−1
(p) < β
k+r
K
(p),
U
K
(p) := span{u
k
(p), . . . , u
k+r
K
−1
(p)},
U
K
h
(p) := span{u
h
k
(p), . . . , u
h
k+r
K
−1
(p)}.
Целью данного параграфа является оценка зависимости величин
|β
K
(p) − β
h
i
(p)|, k 6 i 6 k + r
K
− 1, и раствора Θ
V
(U
K
(p), U
K
h
(p))
от параметров h и N дискретной задачи (P
h
).
Теорема 1.8, с. 29, приводит к следующим оценкам этих величин:
Θ
V
(U
K
(p), U
K
h
(p)) 6 c max
u∈U
K
(p), ∥u∥
1,Ω
=1
ϵ
h
(u), (2.49)
|β
K2
(p) − β
h2
i
(p)| 6 c max
u∈U
K
(p),∥u∥
1,Ω
=1
(
ϵ
2
h
(u) + Σ
h
(P
h
u)
)
. (2.50)
§ 4. Оценки точности                                                              69


Таким образом, Ah (p) ∈ L(R+ , Vh ). 
   Пусть Nhb := dim(Im Bh ). Из теоремы 1.7, с. 27 (см. также заме-
чание 1.2 к нему), непосредственно следует
    Теорема 2.14. При каждом p ∈ R+ задача (Ph ) имеет конечное
число (скажем nh (p)) собственных чисел β hK (p) суммарной крат-
ности Nhb и соответствующих им собственных подпространств
                                                  n⊕
                                                   h (p)
UhK (p), K = 1, 2, . . . , nh (p), Vh,Ah (p)+Bh =        UhK (p) ⊕ ker Bh .
                                                     K=1
    Кроме того, если 0 6            6
                                   β1h (p)     β2 (p) 6
                                                h
                                                     . . . 6 βN
                                                              h
                                                                b (p) есть соб-
                                                                h
ственные числа, пронумерованные с учетом кратности, то:
    функции p → βih (p), i = 1, 2, . . . , Nhb , являются непрерывными в
нуле, локально липшиц-непрерывными на (0, ∞) и строго монотон-
но возрастающими; β1h (p) → 0 при p → +0; β2h (0) > 0.

                          § 4. Оценки точности

    При каждом фиксированном p ∈ R+ задача (Ph ) является схемой
Галеркина с возмущениями для задачи (P). Задачи такого типа были
нами изучены в главе 1.
    Пусть, βi2 (p) и βih2 (p), i = 1, 2, . . . — упорядоченные по возраста-
нию с учетом кратности собственные числа задачи (P) и (Ph ) соответ-
ственно, ui (p) и uhi (p) — соответствующие им собственные функции.
Пусть далее β K (p) имеет кратность rK = rK (p), K > 1,

   β K (p) = βk (p), βk−1 (p) < βk (p) = . . . = βk+rK −1 (p) < βk+rK (p),
                  U K (p) := span{uk (p), . . . , uk+rK −1 (p)},
                  UhK (p) := span{uhk (p), . . . , uhk+rK −1 (p)}.

Целью данного параграфа является оценка зависимости величин
|β K (p) − βih (p)|, k 6 i 6 k + rK − 1, и раствора ΘV (U K (p), UhK (p))
от параметров h и N дискретной задачи (Ph ).
     Теорема 1.8, с. 29, приводит к следующим оценкам этих величин:

               ΘV (U K (p), UhK (p)) 6 c               max        ϵh (u),      (2.49)
                                              u∈U K (p), ∥u∥1,Ω =1
                                                       (2                 )
     |β K2 (p) − βih2 (p)| 6 c         max              ϵh (u) + Σh (Ph u) .   (2.50)
                                 u∈U K (p),∥u∥1,Ω =1

Страницы