Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4.1. Оценки погрешности численного интегрирования. 71
Лемма 2.12. Пусть
b
E(
ˆ
f) = 0 для любого полинома
ˆ
f ∈
b
P
2m−1
,
p |
e
∈ W
2m
∞
(e) для ∀e ∈ T
h
. Пусть также E
h
обозначает любую из
величин E
h
(puv), E
h
(
p u
∂v
∂x
i
)
или E
h
(
p
∂u
∂x
j
∂v
∂x
i
)
, i, j = 1, 2. Тогда
|E
h
| 6 c ∥p∥
2m,∞,h
h
2m
∥u∥
m,h
∥v∥
m,h
∀u, v ∈ V
h
.
Доказательство. Обоснование оценок подобного типа прово-
дится по стандартной в МКЭ схеме: в функционале погрешности осу-
ществляется переход на базисный элемент, используется лемма Брам-
бла — Гильберта и совершается обратный переход на исходный эле-
мент (см., напр, [34, c. 178], [33, c. 176]). Имеет место оценка:
|E
e
(puv)| = |
b
E(
ˆ
f)| 6 ∥
ˆ
f∥
0,∞,ˆe
6 ∥
ˆ
f∥
2m,∞,ˆe
,
где
ˆ
f := ˆσˆuˆv, ˆσ := |J
e
(ˆx)| ˆp(ˆx), ˆp(ˆx) := p(x
e
(ˆx)), |J
e
(ˆx)| — якобиан
преобразования x
e
. Так как
b
E(
b
P
2m−1
) = 0, то из леммы Брамбла —
Гильберта [35] следует, что
|E
e
(puv)| 6 c |
ˆ
f|
2m,∞,ˆe
. (2.52)
Поскольку ˆu, ˆv ∈
b
P
m
, а полунормы | · |
i,∞,ˆe
и | · |
i,ˆe
эквивалентны на
b
P
m
, то пользуясь правилом Лейбница, получим:
|
ˆ
f|
2m,∞,ˆe
6 c
m
∑
i,j=0
|ˆσ|
2m−i−j,∞,ˆe
|ˆu|
i,∞,ˆe
|ˆv|
j,∞,ˆe
6
6 c
m
∑
i,j=0
|ˆσ|
2m−i−j,∞,ˆe
|ˆu|
i,ˆe
|ˆv|
j,ˆe
. (2.53)
Из условий регулярности триангуляции (см. оценки (2.36), (2.37),
(2.38) на с. 63) и правила Лейбница следует:
|ˆσ|
s,∞,ˆe
6 c
s
∑
l=0
|J
e
|
s−l,∞,ˆe
|ˆp|
l,∞,ˆe
6
6 c
s
∑
l=0
h
s−l+2
h
l
∥p∥
l,∞,e
= c h
s+2
∥p∥
s,∞,e
.
4.1. Оценки погрешности численного интегрирования.                                                   71




     Лемма 2.12. Пусть E(     b fˆ) = 0 для любого полинома fˆ ∈ Pb2m−1 ,
p |e ∈ W ∞
         2m
            (e) для ∀ e ∈ Th . Пусть также Eh обозначает любую из
                       ( ∂v )            ( ∂u ∂v )
величин Eh (puv), Eh p u          или Eh p          , i, j = 1, 2. Тогда
                           ∂xi              ∂xj ∂xi
             |Eh | 6 c ∥p∥2m,∞,h h2m ∥u∥m,h ∥v∥m,h                     ∀ u, v ∈ Vh .

   Доказательство. Обоснование оценок подобного типа прово-
дится по стандартной в МКЭ схеме: в функционале погрешности осу-
ществляется переход на базисный элемент, используется лемма Брам-
бла — Гильберта и совершается обратный переход на исходный эле-
мент (см., напр, [34, c. 178], [33, c. 176]). Имеет место оценка:
                                b fˆ)| 6 ∥fˆ∥0,∞,ê 6 ∥fˆ∥2m,∞,ê ,
                  |Ee (puv)| = |E(

где fˆ := σ̂ûv̂, σ̂ := |Je (x̂)| p̂(x̂), p̂(x̂) := p(xe (x̂)), |Je (x̂)| — якобиан
преобразования xe . Так как E(       b Pb2m−1 ) = 0, то из леммы Брамбла —
Гильберта [35] следует, что

                                  |Ee (puv)| 6 c |fˆ|2m,∞,ê .                                 (2.52)

Поскольку û, v̂ ∈ Pbm , а полунормы | · |i,∞,ê и | · |i,ê эквивалентны на
Pbm , то пользуясь правилом Лейбница, получим:
                   ∑
                   m
 |fˆ|2m,∞,ê 6 c           |σ̂|2m−i−j,∞,ê |û|i,∞,ê |v̂|j,∞,ê 6
                   i,j=0
                                                       ∑
                                                       m
                                               6c             |σ̂|2m−i−j,∞,ê |û|i,ê |v̂|j,ê . (2.53)
                                                      i,j=0

Из условий регулярности триангуляции (см. оценки (2.36), (2.37),
(2.38) на с. 63) и правила Лейбница следует:
                  ∑
                  s
 |σ̂|s,∞,ê 6 c         |Je |s−l,∞,ê |p̂|l,∞,ê 6
                  l=0
                                             ∑
                                             s
                                       6c            hs−l+2 hl ∥p∥l,∞,e = c hs+2 ∥p∥s,∞,e .
                                              l=0

Страницы