Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

72 Глава 2. Скалярная задача
Таким образом, из (2.53) будем иметь:
|
ˆ
f|
2m,∞,ˆe
6 c
m
∑
i,j=0
h
2m−i−j+2
∥p∥
2m−i−j,∞,e
h
i−1
∥u∥
i,e
h
j−1
∥v∥
j,e
6
6 c h
2m
∥p∥
2m,∞,e
∥u∥
m,e
∥v∥
m,e
.
Комбинируя последнюю оценку и (2.52), имеем требуемое:
|E
h
(puv)| =
∑
e∈T
h
E
e
(puv)
6 c h
2m
∑
e∈T
h
∥p∥
2m,∞,e
∥u∥
m,e
∥v∥
m,e
6
6 c h
2m
∥p∥
2m,∞,h
∑
e∈T
h
∥u∥
m,e
∥v∥
m,e
6 c h
2m
∥p∥
2m,∞,h
∥u∥
m,h
∥v∥
m,h
.
Приведенные выше рассуждения полностью повторяются и в двух
оставшихся случаях. Например,
E
h
:= E
h
(
p
∂u
∂x
j
∂v
∂x
i
)
=
∑
e∈T
h
I
e
, I
e
:= E
e
(
p
∂u
∂x
j
∂v
∂x
i
)
.
Поскольку ∇u = J
T
e
ˆ
∇ˆu, J
e
— матрица Якоби преобразования x
e
, то
I
e
представляет собой сумму слагаемых вида
b
E(
ˆ
f),
ˆ
f := ˆσ
∂ˆu
∂ˆx
j
∂ˆv
∂ˆx
i
, ˆσ :=
1
|J
e
(ˆx)|
∂x
ei
(ˆx)
∂ˆx
k
∂x
ej
(ˆx)
∂ˆx
l
ˆp ,
причем |
b
E(
ˆ
f)| 6 c |
ˆ
f|
2m,∞,ˆe
. Как и ранее, имеем: |ˆσ|
s,∞,ˆe
6 c h
s
∥p∥
s,∞,e
,
|
b
E(
ˆ
f)| 6 c |
ˆ
f|
2m,∞,ˆe
6 c
m−1
∑
i,j=0
|ˆσ|
2m−i−j,∞,ˆe
|ˆu|
i+1,ˆe
|ˆv|
j+1,ˆe
6
6 c h
2m
∥p∥
2m,∞,e
∥u∥
m,e
∥v∥
m,e
.
Отсюда, после суммирования по e ∈ T
h
, следует оценка E
h
.
Следствие 2.7. Пусть ε|
Ω
i
∈ W
2m
∞
(Ω
i
), u, v ∈ V
h
, p ∈ R
+
. Тогда
|a
0
(p, u, v) − a
0h
(p, u, v)| 6 c h
2m
∥u∥
m,h
∥v∥
m,h
,
|b(u, v) − b
h
(u, v)| 6 c h
2m
∥u∥
m,h
∥v∥
m,h
.
72                                                                  Глава 2. Скалярная задача


Таким образом, из (2.53) будем иметь:

                   ∑
                   m
 |fˆ|2m,∞,ê 6 c           h2m−i−j+2 ∥p∥2m−i−j,∞,e hi−1 ∥u∥i,e hj−1 ∥v∥j,e 6
                   i,j=0
                                                         6 c h2m ∥p∥2m,∞,e ∥u∥m,e ∥v∥m,e .

Комбинируя последнюю оценку и (2.52), имеем требуемое:
              ∑                  ∑
 |Eh (puv)| =   Ee (puv) 6 c h2m   ∥p∥2m,∞,e ∥u∥m,e ∥v∥m,e 6
                   e∈Th                               e∈Th
                             ∑
     6 c h2m ∥p∥2m,∞,h              ∥u∥m,e ∥v∥m,e 6 c h2m ∥p∥2m,∞,h ∥u∥m,h ∥v∥m,h .
                             e∈Th

Приведенные выше рассуждения полностью повторяются и в двух
оставшихся случаях. Например,
               ( ∂u ∂v ) ∑                 ( ∂u ∂v )
       Eh := Eh p         =   Ie , Ie := Ee p         .
                  ∂xj ∂xi                     ∂xj ∂xi
                                               e∈Th

Поскольку ∇u = JeT ∇û,
                    ˆ Je — матрица Якоби преобразования xe , то
                                           b fˆ),
Ie представляет собой сумму слагаемых вида E(
                     ∂ û ∂v̂                        1 ∂xei (x̂) ∂xej (x̂)
            fˆ := σ̂             ,        σ̂ :=                            p̂ ,
                     ∂ x̂j ∂ x̂i                  |Je (x̂)| ∂ x̂k  ∂ x̂l
        b fˆ)| 6 c |fˆ|2m,∞,ê . Как и ранее, имеем: |σ̂|s,∞,ê 6 c hs ∥p∥s,∞,e ,
причем |E(

                                    ∑
                                    m−1
  b fˆ)| 6 c |fˆ|2m,∞,ê 6 c
 |E(                                        |σ̂|2m−i−j,∞,ê |û|i+1,ê |v̂|j+1,ê 6
                                    i,j=0
                                                         6 c h2m ∥p∥2m,∞,e ∥u∥m,e ∥v∥m,e .

Отсюда, после суммирования по e ∈ Th , следует оценка Eh . 
     Следствие 2.7. Пусть ε|Ωi ∈ W∞
                                  2m
                                     (Ωi ), u, v ∈ Vh , p ∈ R+ . Тогда

              |a0 (p, u, v) − a0h (p, u, v)| 6 c h2m ∥u∥m,h ∥v∥m,h ,
                   |b(u, v) − bh (u, v)| 6 c h2m ∥u∥m,h ∥v∥m,h .

Страницы