Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

70 Глава 2. Скалярная задача
Здесь c = c(K, p), P
h
:= P
h
(p) — ортопроектор в V
A(p)+B
на V
h
,
ϵ
h
(u) := inf
v
h
∈V
h
∥u − v
h
∥
1,Ω
+ E
a
(P
h
u) + E
b
(P
h
u), u ∈ V,
Σ
h
(y) := |a(p, y, y) − a
h
(p, y, y)| + |b(y, y) − b
h
(y, y)|, y ∈ V
h
,
для заданных форм d и d
h
E
d
(φ
h
) := sup
v
h
∈V
h
,∥v
h
∥=1
|d(φ
h
, v
h
) − d
h
(φ
h
, v
h
)|, φ
h
∈ V
h
.
Для того, чтобы воспользоваться оценками (2.49), (2.50), необ-
ходимо предварительно убедиться в выполнении условий (H
1
), A
h
6
.
Фактически, необходимо проверить лишь условие
1)
A
h
6
) sup
f∈V
h
, ∥f∥=1
(E
b
(f) + E
b
(P
h
T (p)f) + E
a
(P
h
T (p)f)) → 0 при h → 0,
поскольку (H
1
) выполняется очевидным образом (см. (2.40)).
Прежде чем приступить к анализу правых частей в (2.49) и (2.50),
оценим два типа возмущений в формах a и b, а именно возмущений
от использования квадратурных формул и от усечения ряда.
До конца главы будем предполагать, что K > 1 и p ∈ R
+
явля-
ются фиксированными, ε|
Ω
i
⊂ W
2m
∞
(Ω
i
), а собственные функции u из
U
K
(p) обладают следующей гладкостью:
u|
Ω
i
⊂ H
m+1
(Ω
i
), u|
Ω\Ω
i
⊂ H
m+1
(Ω \ Ω
i
), (2.51)
где m то же число, что и в определении пространства V
h
. Будем ис-
пользовать дополнительные обозначения
|u|
j
:= |u|
j,Ω
i
+ |u|
j,Ω\Ω
i
, ∥u∥
j
:= ∥u∥
j,Ω
i
+ ∥u∥
j,Ω\Ω
i
, j > 0.
4.1. Оценки погрешности численного интегрирования.
Введем обозначения функционалов погрешности квадратурных
формул:
b
E(
ˆ
f) :=
∫
ˆe
ˆ
f(ˆx) dˆx −
ˆ
S(
ˆ
f), E
e
(f) :=
∫
e
f(x) dx −S
e
(f),
E
h
(f) :=
∑
e∈T
h
E
e
(f).
1)
здесь T (p) := (A(p) + B)
−1
B, A(p) и B — операторы задачи (P).
70                                                                          Глава 2. Скалярная задача


Здесь c = c(K, p), Ph := Ph (p) — ортопроектор в VA(p)+B на Vh ,
             ϵh (u) := inf ∥u − vh ∥1,Ω + Ea (Ph u) + Eb (Ph u), u ∈ V,
                                vh ∈Vh
         Σh (y) := |a(p, y, y) − ah (p, y, y)| + |b(y, y) − bh (y, y)|, y ∈ Vh ,
для заданных форм d и dh
             Ed (φh ) :=                 sup        |d(φh , vh ) − dh (φh , vh )|, φh ∈ Vh .
                                  vh ∈Vh ,∥vh ∥=1

   Для того, чтобы воспользоваться оценками (2.49), (2.50), необ-
ходимо предварительно убедиться в выполнении условий (H1 ), Ah6 .
Фактически, необходимо проверить лишь условие 1)
Ah6 )         sup      (Eb (f ) + Eb (Ph T (p)f ) + Ea (Ph T (p)f )) → 0 при h → 0,
          f ∈Vh , ∥f ∥=1

поскольку (H1 ) выполняется очевидным образом (см. (2.40)).
    Прежде чем приступить к анализу правых частей в (2.49) и (2.50),
оценим два типа возмущений в формах a и b, а именно возмущений
от использования квадратурных формул и от усечения ряда.
    До конца главы будем предполагать, что K > 1 и p ∈ R+ явля-
ются фиксированными, ε|Ωi ⊂ W∞ 2m
                                  (Ωi ), а собственные функции u из
  K
U (p) обладают следующей гладкостью:
                      u|Ωi ⊂ H m+1 (Ωi ),                u|Ω\Ωi ⊂ H m+1 (Ω \ Ωi ),             (2.51)
где m то же число, что и в определении пространства Vh . Будем ис-
пользовать дополнительные обозначения
          |u|j := |u|j,Ωi + |u|j,Ω\Ωi , ∥u∥j := ∥u∥j,Ωi + ∥u∥j,Ω\Ωi , j > 0.

4.1. Оценки погрешности численного интегрирования.

   Введем обозначения функционалов погрешности квадратурных
формул:
              ∫                               ∫
      b fˆ) := fˆ(x̂) dx̂ − Ŝ(fˆ), Ee (f ) := f (x) dx − Se (f ),
     E(
                           ê                                           e
                                                          ∑
                                           Eh (f ) :=            Ee (f ).
                                                          e∈Th
  1)
       здесь T (p) := (A(p) + B)−1 B, A(p) и B — операторы задачи (P).

Страницы