Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

74 Глава 2. Скалярная задача
Доказательство. Имеем: S
N
(P
h
u) 6 2(S
N
(u −P
h
u) + S
N
(u)),
K
n
(Rp) 6 1
p
K
n
(R) (см. замечание 2.5). Поэтому (см. следствие 2.3):
S
N
(u − P
h
u) := 2π
∑
|n|>N
K
n
(Rp) |a
n
(u − P
h
u)|
2
6
6 1
p
2π
∑
|n|>N
K
n
(R) |a
n
(u−P
h
u)|
2
6 1
p
|u−P
h
u|
2
1/2,Γ
6 c ∥u−P
h
u∥
2
1,Ω
.
Из леммы 2.5 следует, что
|a
n
(u)| 6 (R
0
/R)
|n|
|a
n
(u
0
)|, u
0
= u|
∂B
R
0
.
Кроме того K
n
(Rp) 6 (Rp/R
0
)
2
K
n
(R
0
). Поэтому
S
N
(u) 6 p
2
(R
0
/R)
2N
2π
∑
|n|>N
K
n
(R
0
) |a
n
(u
0
)|
2
6
6 p
2
(R
0
/R)
2N
|u|
2
1/2,∂B
R
0
6 c (R
0
/R)
2N
∥u∥
2
1,B
R
0
6 c (R
0
/R)
2N
∥u∥
2
1,Ω
.
Теперь из оценок S
N
(u−P
h
u) и S
N
(u) следует требуемое утверждение.
4.3. Оценки возмущений.
Оценим возмущения форм, вызванные численным интегрирова-
нием и усечением ряда. Положим
ϵ
hm
:= h
m
+ (R
0
/R)
N
, ϵ
h0
:= ∥(I − P
h
)T (p)∥ + h
2
+ (R
0
/R)
N
.
Теорема 2.15. Пусть p ∈ R
+
, u
h
∈ V
h
, u ∈ U
K
(p). Тогда
E
a
(P
h
T (p)u
h
) 6 c ϵ
h0
∥u
h
∥
1,Ω
, (2.55)
E
a
(P
h
u) 6 c ϵ
hm
∥u∥
m+1
, (2.56)
|a(p, P
h
u, P
h
u) − a
h
(p, P
h
u, P
h
u)| 6 c ϵ
2
hm
∥u∥
2
m+1
. (2.57)
Доказательство. Имеем для любых f
h
, v
h
∈ V
h
1)
:
(a −a
h
)(p, f
h
, v
h
) = (a
0
−a
0h
)(p, f
h
, v
h
) + 2π
∑
|n|>N
K
n
(Rp) a
n
(f
h
) a
n
(v
h
).
1)
(a − a
h
)(p, u, v) = a(p, u, v) − a
h
(p, u, v).
74                                                                Глава 2. Скалярная задача


    Доказательство. Имеем: SN (Ph u) 6 2(SN (u − Ph u) + SN (u)),
Kn (Rp) 6 1p Kn (R) (см. замечание 2.5). Поэтому (см. следствие 2.3):
                     ∑
 SN (u − Ph u) := 2π      Kn (Rp) |an (u − Ph u)|2 6
                                   |n|>N
                ∑
6 1p 2π                Kn (R) |an (u−Ph u)|2 6 1p |u−Ph u|21/2,Γ 6 c ∥u−Ph u∥21,Ω .
               |n|>N

Из леммы 2.5 следует, что

                        |an (u)| 6 (R0 /R)|n| |an (u0 )|,      u0 = u|∂BR0 .

Кроме того Kn (Rp) 6 (Rp/R0 )2 Kn (R0 ). Поэтому
                          ∑
 SN (u) 6 p2 (R0 /R)2N 2π   Kn (R0 ) |an (u0 )|2 6
                                       |n|>N

 6 p (R0 /R)
         2             2N
                            |u|1/2,∂BR 6 c (R0 /R)2N ∥u∥21,BR0
                               2
                                                                    6 c (R0 /R)2N ∥u∥21,Ω .
                                      0


Теперь из оценок SN (u−Ph u) и SN (u) следует требуемое утверждение.

4.3. Оценки возмущений.

   Оценим возмущения форм, вызванные численным интегрирова-
нием и усечением ряда. Положим

      ϵhm := hm + (R0 /R)N ,                   ϵh0 := ∥(I − Ph )T (p)∥ + h2 + (R0 /R)N .

       Теорема 2.15. Пусть p ∈ R+ , uh ∈ Vh , u ∈ U K (p). Тогда

                             Ea (Ph T (p)uh ) 6 c ϵh0 ∥uh ∥1,Ω ,                      (2.55)
                                Ea (Ph u) 6 c ϵhm ∥u∥m+1 ,                            (2.56)
              |a(p, Ph u, Ph u) − ah (p, Ph u, Ph u)| 6 c ϵ2hm ∥u∥2m+1 .              (2.57)

    Доказательство. Имеем для любых fh , vh ∈ Vh 1) :
                                                       ∑
(a − ah )(p, fh , vh ) = (a0 − a0h )(p, fh , vh ) + 2π   Kn (Rp) an (fh ) an (vh ).
                                                               |n|>N
 1)
      (a − ah )(p, u, v) = a(p, u, v) − ah (p, u, v).

Страницы