Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

76 Глава 2. Скалярная задача
4.4. Оценки точности приближенных решений.
Используя полученные выше оценки величин, входящих в усло-
вие A
h
6
и неравенства (2.49), (2.50), оценим точность приближенного
метода.
Теорема 2.17. Пусть p ∈ R
+
, ε|
Ω
i
⊂ W
2m
∞
(Ω
i
), выполнены усло-
вия гладкости (2.51) и
N > c
0
ln(1/h), c
0
=
m
ln(R/R
0
)
.
Тогда при достаточно малом h имеют место оценки:
Θ
V
(U
K
(p), U
K
h
(p)) 6 c h
m
, |β
K
(p) − β
h
i
(p)| 6 c h
2m
,
где K > 1, i = k, . . . , k + r
K
− 1, c = c(K, p).
Доказательство. Воспользуемся оценками (2.55), (2.59).
Пусть u
h
∈ V
h
, v
h
= P
h
T (p)u
h
. Тогда
E
b
(v
h
) 6 c h
2
∥v
h
∥
1,Ω
6 c h
2
∥u
h
∥
1,Ω
.
Легко видеть, что (R
0
/R)
N
6 h
m
. Поэтому
E
b
(u
h
) + E
b
(P
h
T (p)u
h
) + E
a
(P
h
T (p)u
h
) 6 c(h
2
+ ϵ
h0
)∥u
h
∥
1,Ω
6
6 c
(
h + ∥(I − P
h
)T (p)∥
)
∥u
h
∥
1,Ω
.
Отсюда следует справедливость условия A
h
6
, поскольку, в силу усло-
вия (H
1
) и компактности оператора T (p), имеем ∥(I − P
h
)T (p)∥ → 0
при h → 0 (см., напр., [4, Лемма 15.4, с. 202]).
Обратимся к оценкам (2.49), (2.50). Из оценок (2.56) и (2.60) полу-
чаем, что E
a
(P
h
u) + E
b
(P
h
u) 6 c h
m
∥u∥
m+1
. Следовательно, с учетом
(2.41), имеем ϵ
h
(u) 6 c h
m
∥u∥
m+1
. Оценка Σ
h
(P
h
u) 6 c h
2m
∥u∥
2
m+1
вытекает непосредственно из (2.57) и (2.61). Таким образом, из оце-
нок (2.49), (2.50) имеем:
Θ
V
(U
K
(p), U
K
h
(p)) 6 c h
m
, |β
K2
(p) − β
h2
i
(p)| 6 c h
2m
, (2.62)
поскольку, в силу конечномерности пространства U
K
(p),
max
u∈U
K
(p), ∥u∥=1
∥u∥
m+1
6 c, c = c(K, p).
76                                                    Глава 2. Скалярная задача


4.4. Оценки точности приближенных решений.

    Используя полученные выше оценки величин, входящих в усло-
вие Ah6 и неравенства (2.49), (2.50), оценим точность приближенного
метода.
   Теорема 2.17. Пусть p ∈ R+ , ε|Ωi ⊂ W∞
                                        2m
                                           (Ωi ), выполнены усло-
вия гладкости (2.51) и
                                                   m
                    N > c0 ln(1/h), c0 =                  .
                                                ln(R/R0 )
Тогда при достаточно малом h имеют место оценки:

         ΘV (U K (p), UhK (p)) 6 c hm ,     |β K (p) − βih (p)| 6 c h2m ,

где K > 1, i = k, . . . , k + rK − 1, c = c(K, p).
   Доказательство.           Воспользуемся оценками (2.55), (2.59).
Пусть uh ∈ Vh , vh = Ph T (p)uh . Тогда

                   Eb (vh ) 6 c h2 ∥vh ∥1,Ω 6 c h2 ∥uh ∥1,Ω .

Легко видеть, что (R0 /R)N 6 hm . Поэтому

 Eb (uh ) + Eb (Ph T (p)uh ) + Ea (Ph T (p)uh ) 6 c(h2 + ϵh0 )∥uh ∥1,Ω 6
                                            (                       )
                                         6 c h + ∥(I − Ph )T (p)∥ ∥uh ∥1,Ω .

Отсюда следует справедливость условия Ah6 , поскольку, в силу усло-
вия (H1 ) и компактности оператора T (p), имеем ∥(I − Ph )T (p)∥ → 0
при h → 0 (см., напр., [4, Лемма 15.4, с. 202]).
    Обратимся к оценкам (2.49), (2.50). Из оценок (2.56) и (2.60) полу-
чаем, что Ea (Ph u) + Eb (Ph u) 6 c hm ∥u∥m+1 . Следовательно, с учетом
(2.41), имеем ϵh (u) 6 c hm ∥u∥m+1 . Оценка Σh (Ph u) 6 c h2m ∥u∥2m+1
вытекает непосредственно из (2.57) и (2.61). Таким образом, из оце-
нок (2.49), (2.50) имеем:

     ΘV (U K (p), UhK (p)) 6 c hm , |β K2 (p) − βih2 (p)| 6 c h2m ,         (2.62)

поскольку, в силу конечномерности пространства U K (p),

                      max           ∥u∥m+1 6 c, c = c(K, p).
                 u∈U K (p), ∥u∥=1

Страницы