Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4.3. Оценки возмущений. 75
Воспользуемся следствием 2.7. Тогда
|(a − a
h
)(p, f
h
, v
h
)| 6 c h
2m
∥f
h
∥
m,h
∥v
h
∥
m,h
+
+ 2π
∑
|n|>N
K
n
(Rp) |a
n
(f
h
)||a
n
(v
h
)|. (2.58)
Выберем здесь f
h
= P
h
v, v = T (p)u
h
и учтем, что v ∈ A(Ω),
2π
∑
|n|>N
K
n
(Rp) |a
n
(v
h
)|
2
6 c ∥v
h
∥
2
1,Ω
,
∥v
h
∥
m,h
6 c h
1−m
∥v
h
∥
1,Ω
(обратное неравенство). Используя неравен-
ство Коши — Буняковского и лемму 2.14, получим:
|(a − a
h
)(p, P
h
v, v
h
)| 6 c h
2
∥P
h
v∥
1,Ω
∥v
h
∥
1,Ω
+ c S
1/2
N
(P
h
v)∥v
h
∥
1,Ω
6
6 c
(
h
2
∥v∥
1,Ω
+ ∥v −P
h
v∥
1,Ω
+ (R
0
/R)
N
∥v∥
1,Ω
)
∥v
h
∥
1,Ω
.
Отметим, что T (p) компактный оператор при каждом p ∈ R
+
,
∥v∥
1,Ω
6 c ∥u
h
∥
1,Ω
, ∥v − P
h
v∥
1,Ω
6 ∥(I − P
h
)T (p)∥∥u
h
∥
1,Ω
. Отсюда
следует первая оценка (2.55).
Выберем теперь в (2.58) f
h
= P
h
u и учтем оценки (2.54). Получим:
|(a − a
h
)(p, P
h
u, v
h
)| 6 c h
m+1
∥P
h
u∥
m,h
∥v
h
∥
1,Ω
+ c S
1/2
N
(P
h
u)∥v
h
∥
1,Ω
6
6 c ϵ
hm
∥u∥
m+1
∥v
h
∥
1,Ω
.
Из этой оценки следует (2.56). Наконец, выбирая в (2.58) функции
f
h
= v
h
= P
h
u, из (2.54) и леммы 2.14 получим оценку (2.57).
Теорема 2.16. Пусть u
h
∈ V
h
, u ∈ U
K
(p). Тогда
E
b
(u
h
) 6 c h
2
∥u
h
∥
1,Ω
, (2.59)
E
b
(P
h
u) 6 c h
m+1
∥u∥
m
, (2.60)
|b(P
h
u, P
h
u) − b
h
(P
h
u, P
h
u)| 6 c h
2m
∥u∥
2
m
. (2.61)
Доказательство. Согласно следствию 2.7
|b(u
h
, v
h
) − b
h
(u
h
, v
h
)| 6 c h
2m
∥u
h
∥
m,h
∥v
h
∥
m,h
, u
h
, v
h
∈ V
h
.
Дважды применяя здесь обратное неравенство, получим (2.59). Вы-
бирая u
h
= P
h
u, используя (2.54) и обратное неравенство, будем
иметь (2.60). Полагая u
h
= v
h
= P
h
u и учитывая (2.54), полу-
чим (2.61). 
4.3. Оценки возмущений.                                                             75


Воспользуемся следствием 2.7. Тогда

 |(a − ah )(p, fh , vh )| 6 c h2m ∥fh ∥m,h ∥vh ∥m,h +
                                         ∑
                                   + 2π        Kn (Rp) |an (fh )| |an (vh )|. (2.58)
                                        |n|>N

Выберем здесь fh = Ph v, v = T (p)uh и учтем, что v ∈ A(Ω),
                  ∑
               2π       Kn (Rp) |an (vh )|2 6 c ∥vh ∥21,Ω ,
                       |n|>N

∥vh ∥m,h 6 c h1−m ∥vh ∥1,Ω (обратное неравенство). Используя неравен-
ство Коши — Буняковского и лемму 2.14, получим:
                                                           1/2
 |(a − ah )(p, Ph v, vh )| 6 c h2 ∥Ph v∥1,Ω ∥vh ∥1,Ω + c SN (Ph v)∥vh ∥1,Ω 6
                    (                                               )
               6 c h2 ∥v∥1,Ω + ∥v − Ph v∥1,Ω + (R0 /R)N ∥v∥1,Ω ∥vh ∥1,Ω .
Отметим, что T (p) компактный оператор при каждом p ∈ R+ ,
∥v∥1,Ω 6 c ∥uh ∥1,Ω , ∥v − Ph v∥1,Ω 6 ∥(I − Ph )T (p)∥ ∥uh ∥1,Ω . Отсюда
следует первая оценка (2.55).
   Выберем теперь в (2.58) fh = Ph u и учтем оценки (2.54). Получим:
                                                                 1/2
 |(a − ah )(p, Ph u, vh )| 6 c hm+1 ∥Ph u∥m,h ∥vh ∥1,Ω + c SN (Ph u)∥vh ∥1,Ω 6
                                                      6 c ϵhm ∥u∥m+1 ∥vh ∥1,Ω .
Из этой оценки следует (2.56). Наконец, выбирая в (2.58) функции
fh = vh = Ph u, из (2.54) и леммы 2.14 получим оценку (2.57). 
   Теорема 2.16. Пусть uh ∈ Vh , u ∈ U K (p). Тогда
                            Eb (uh ) 6 c h2 ∥uh ∥1,Ω ,                           (2.59)
                           Eb (Ph u) 6 c hm+1 ∥u∥m ,                             (2.60)
                |b(Ph u, Ph u) − bh (Ph u, Ph u)| 6 c h2m ∥u∥2m .                (2.61)

   Доказательство. Согласно следствию 2.7
      |b(uh , vh ) − bh (uh , vh )| 6 c h2m ∥uh ∥m,h ∥vh ∥m,h , uh , vh ∈ Vh .
Дважды применяя здесь обратное неравенство, получим (2.59). Вы-
бирая uh = Ph u, используя (2.54) и обратное неравенство, будем
иметь (2.60). Полагая uh = vh = Ph u и учитывая (2.54), полу-
чим (2.61). 

Страницы