Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4.2. Вспомогательные утверждения. 73
4.2. Вспомогательные утверждения.
Следующие две леммы понадобятся нам при оценке возмущений
метода Галеркина.
Лемма 2.13. Пусть u ∈ U
K
(p), k = 1, 2, . . . , m. Тогда
∥u − P
h
u∥
1,Ω
6 c h
k
∥u∥
k+1
, ∥P
h
u∥
k,h
6 c ∥u∥
k
. (2.54)
Доказательство. Из эквивалентности норм в V
A(p)+B
и в V
следует, что проектор P
h
ограничен в V и
∥u − P
h
u∥
1,Ω
6 c inf
v
h
∈V
h
∥u − v
h
∥
1,Ω
∀u ∈ V.
Первая оценка леммы следует из этой оценки и (2.41), так как
∥u∥
k,h
= ∥u∥
k
. Из ограниченности P
h
в V вытекает справедливость
второй оценки в (2.54) при k = 1, поскольку ∥P
h
u∥
1,h
= ∥P
h
u∥
1,Ω
.
Пусть k > 2, π
h
есть такой проектор V на V
h
, что
∥u − π
h
u∥
1,Ω
6 c h
k−1
∥u∥
k
, ∥u − π
h
u∥
k,h
6 c ∥u∥
k
.
Например, в качестве π
h
можно выбрать оператор V
h
-интерполяции
1)
.
Используя обратное неравенство (2.39), имеем:
∥π
h
u − P
h
u∥
k,h
6 c h
1−k
∥π
h
u − P
h
u∥
1,Ω
6
6 c h
1−k
(∥u − π
h
u∥
1,Ω
+ ∥u − P
h
u∥
1,Ω
) 6 c ∥u∥
k
.
Следовательно,
∥P
h
u∥
k,h
6 ∥u∥
k,h
+ ∥u − π
h
u∥
k,h
+ ∥π
h
u − P
h
u∥
k,h
6 c ∥u∥
k
.
Обозначим через A(Ω) множество функций из H
1
(Ω), гармонических
или метагармонических в Ω \ Ω
i
. Отметим, что U
K
(p) ⊂ A(Ω).
Лемма 2.14. Пусть p ∈ R
+
, S
N
(u) := 2π
∑
|n|>N
K
n
(Rp) |a
n
(u)|
2
,
u ∈ A(Ω). Тогда
2)
S
N
(P
h
u) 6 c
(
∥u − P
h
u∥
2
1,Ω
+ (R
0
/R)
2N
∥u∥
2
1,Ω
)
.
1)
π
h
u ∈ V
h
, π
h
u(a
i
) = u(a
i
) в каждой точке сетки a
i
.
2)
напомним, что R > R
0
, R
0
:= min{r : Ω
i
⊆ B
r
}
4.2. Вспомогательные утверждения.                                                        73


4.2. Вспомогательные утверждения.

   Следующие две леммы понадобятся нам при оценке возмущений
метода Галеркина.
       Лемма 2.13. Пусть u ∈ U K (p), k = 1, 2, . . . , m. Тогда

                   ∥u − Ph u∥1,Ω 6 c hk ∥u∥k+1 , ∥Ph u∥k,h 6 c ∥u∥k .                 (2.54)

   Доказательство. Из эквивалентности норм в VA(p)+B и в V
следует, что проектор Ph ограничен в V и

                      ∥u − Ph u∥1,Ω 6 c inf ∥u − vh ∥1,Ω ∀ u ∈ V.
                                                vh ∈Vh

Первая оценка леммы следует из этой оценки и (2.41), так как
∥u∥k,h = ∥u∥k . Из ограниченности Ph в V вытекает справедливость
второй оценки в (2.54) при k = 1, поскольку ∥Ph u∥1,h = ∥Ph u∥1,Ω .
   Пусть k > 2, πh есть такой проектор V на Vh , что

               ∥u − πh u∥1,Ω 6 c hk−1 ∥u∥k ,               ∥u − πh u∥k,h 6 c ∥u∥k .

Например, в качестве πh можно выбрать оператор Vh -интерполяции1) .
Используя обратное неравенство (2.39), имеем:

 ∥πh u − Ph u∥k,h 6 c h1−k ∥πh u − Ph u∥1,Ω 6
                                6 c h1−k (∥u − πh u∥1,Ω + ∥u − Ph u∥1,Ω ) 6 c ∥u∥k .

Следовательно,

       ∥Ph u∥k,h 6 ∥u∥k,h + ∥u − πh u∥k,h + ∥πh u − Ph u∥k,h 6 c ∥u∥k . 

Обозначим через A(Ω) множество функций из H 1 (Ω), гармонических
или метагармонических в Ω \ Ωi . Отметим, что U K (p) ⊂ A(Ω).
                                               ∑
   Лемма 2.14. Пусть p ∈ R+ , SN (u) := 2π          Kn (Rp) |an (u)|2 ,
                                                                      |n|>N
u ∈ A(Ω). Тогда           2)

                               (                                  )
                  SN (Ph u) 6 c ∥u − Ph u∥21,Ω + (R0 /R)2N ∥u∥21,Ω .
 1)
      πh u ∈ Vh , πh u(ai ) = u(ai ) в каждой точке сетки ai .
 2)
      напомним, что R > R0 , R0 := min{r : Ωi ⊆ Br }

Страницы