Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.3. Дискретная задача. Свойства решений. 67
При p > 0 эта задача является дискретным аналогом задачи (P), при
p = 0 — задачи (P
0
) для определения критических чисел.
Пусть u
h
=
N
h
∑
i=1
y
i
φ
i
, y
i
= u
h
(a
i
); y := (y
1
, y
2
, . . . , y
N
h
)
T
— вектор
узловых параметров u
h
. Введем матрицы:
A
h
(p) :=
{
a
h
(p, φ
j
, φ
i
)
}
N
h
i,j=1
, B
h
:=
{
b
h
(φ
j
, φ
i
)
}
N
h
i,j=1
.
Тогда задача (P
h
) может быть записана как параметрическая обоб-
щенная алгебраическая задача на собственные значения:
A
h
(p)y = β
h2
B
h
y, y ∈ R
N
h
\{0}.
Задачи подобного вида были изучены нами в главе 1 (см. § 4, с. 26), где
спектральный параметр β
h2
обозначался через λ
h
. Чтобы воспользо-
ваться результатами теоремы 1.7, посвященной существованию реше-
ний задачи и свойствам дисперсионных кривых, необходимо предва-
рительно убедиться, что семейства матриц A
h
(p) и B
h
удовлетворяют
условиям A
h
1
− A
h
5
на с. 27.
Лемма 2.11. Семейства матриц A
h
(p), p ∈ R
+
и B
h
удовле-
творяют условиям A
h
1
− A
h
5
.
Доказательство. Учтем, что K
n
(r) > 0 при r ∈ R
+
. Привле-
кая лемму 2.4, имеем:
0 6 s
N
(p, u
h
, u
h
) 6 s
∞
(p, u
h
, u
h
) 6 M
s
(p)∥u
h
∥
2
1,Ω
.
Учитывая (2.42), также имеем (1
p
:= min{1, p
2
}, 1
p
:= max{1, p
2
}):
a
0h
(p, u
h
, u
h
) > 1
p
S
h
(
|∇u
h
|
2
+ u
2
h
)
> 1
p
c
−2
∥u
h
∥
2
1,Ω
.
Аналогично доказывается неравенство a
0h
(p, u
h
, u
h
) 6 1
p
c
2
∥u
h
∥
2
1,Ω
.
Из этих оценок следует, что
m
a
(p)∥u
h
∥
2
1,Ω
6 a
h
(p, u
h
, u
h
) 6 M
a
(p)∥u
h
∥
2
1,Ω
, (2.47)
где m
a
(p) := 1
p
c
−2
, M
a
(p) := 1
p
c
2
+ M
s
(p), p ∈ R
+
. Оценки
0 6 b
h
(u
h
, u
h
) 6 M
b
∥u
h
∥
2
1,Ω
, M
b
:= (σ
+
− 1)c
2
, (2.48)
3.3. Дискретная задача. Свойства решений.                                     67


При p > 0 эта задача является дискретным аналогом задачи (P), при
p = 0 — задачи (P 0 ) для определения критических чисел.
                ∑
                Nh
   Пусть uh =      yi φi , yi = uh (ai ); y := (y1 , y2 , . . . , yNh )T — вектор
                   i=1
узловых параметров uh . Введем матрицы:
                {                }Nh           {             }Nh
       Ah (p) := ah (p, φj , φi ) i,j=1 , Bh := bh (φj , φi ) i,j=1 .

Тогда задача (Ph ) может быть записана как параметрическая обоб-
щенная алгебраическая задача на собственные значения:

                     Ah (p)y = β h2 Bh y,    y ∈ RNh \{0}.

Задачи подобного вида были изучены нами в главе 1 (см. § 4, с. 26), где
спектральный параметр β h2 обозначался через λh . Чтобы воспользо-
ваться результатами теоремы 1.7, посвященной существованию реше-
ний задачи и свойствам дисперсионных кривых, необходимо предва-
рительно убедиться, что семейства матриц Ah (p) и Bh удовлетворяют
условиям Ah1 − Ah5 на с. 27.
   Лемма 2.11. Семейства матриц Ah (p), p ∈ R+ и Bh удовле-
творяют условиям Ah1 − Ah5 .
   Доказательство. Учтем, что Kn (r) > 0 при r ∈ R+ . Привле-
кая лемму 2.4, имеем:

            0 6 sN (p, uh , uh ) 6 s∞ (p, uh , uh ) 6 Ms (p)∥uh ∥21,Ω .

Учитывая (2.42), также имеем (1p := min{1, p2 }, 1p := max{1, p2 }):
                                (             )
       a0h (p, uh , uh ) > 1p Sh |∇uh |2 + u2h > 1p c−2 ∥uh ∥21,Ω .

Аналогично доказывается неравенство a0h (p, uh , uh ) 6 1p c2 ∥uh ∥21,Ω .
Из этих оценок следует, что

              ma (p)∥uh ∥21,Ω 6 ah (p, uh , uh ) 6 Ma (p)∥uh ∥21,Ω ,      (2.47)

где ma (p) := 1p c−2 , Ma (p) := 1p c2 + Ms (p), p ∈ R+ . Оценки

             0 6 bh (uh , uh ) 6 Mb ∥uh ∥21,Ω , Mb := (σ+ − 1)c2 ,        (2.48)

Страницы