Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

64 Глава 2. Скалярная задача
на элементе ˆe с положительными коэффициентами, точная на поли-
номах из
b
P
2m−1
1)
:
∫
ˆe
φ(ˆx)dˆx ≈
Q
∑
i=1
ˆc
i
φ(
ˆ
b
i
) =:
b
S(φ), ˆc
i
> 0.
Примеры таких квадратур хорошо известны в литературе (см., напр.,
[33, c. 192]). Например, при m = 1 подходящей является формула c
одним узлом (центр тяжести ˆe) или с тремя узлами (вершины ˆe).
Пусть J
e
(ˆx) := Dx
e
(ˆx) — матрица Якоби преобразования x
e
,
|J
e
(ˆx)| := det J
e
(ˆx) > 0 — его якобиан. Тогда следующие формулы
определяют искомую составную квадратуру S
h
(·):
∫
Ω
φ(x)dx =
∑
e∈T
h
∫
e
φ(x)dx =
∑
e∈T
h
∫
ˆe
|J
e
(ˆx)|φ(x
e
(ˆx)) dˆx ≈
≈
∑
e∈T
h
Q
∑
i=1
ˆc
i
|J
e
(
ˆ
b
i
)|φ(x
e
(
ˆ
b
i
)) =:
∑
e∈T
h
S
e
(φ) =: S
h
(φ).
Определим дискретные аналоги норм в H
1
(Ω) и L
2
(Ω):
∥u
h
∥
2
1,V
h
:= S
h
(
|∇u
h
|
2
+ u
2
h
)
, ∥u
h
∥
2
0,V
h
:= S
h
(
u
2
h
)
.
Теорема 2.13. Пусть триангуляция T
h
является регулярной,
а квадратурная формула
b
S точна на полиномах из
b
P
2m−2
и имеет
положительные коэффициенты. Тогда имеют место оценки:
c
−1
∥u
h
∥
1,Ω
6 ∥u
h
∥
1,V
h
6 c ∥u
h
∥
1,Ω
, u
h
∈ V
h
, (2.42)
∥u
h
∥
0,V
h
6 c ∥u
h
∥
0,Ω
, u
h
∈ V
h
. (2.43)
Доказательство. Пусть e ∈ T
h
,
b
P
m
∋ ˆu(ˆx) := u
h
(x
e
(ˆx)) — об-
раз функции u
h
= u
h
|
e
при преобразовании координат x = x
e
(ˆx). При
J
−T
e
:= (J
−1
e
)
T
имеем |∇u
h
(x)| = |J
−T
e
(ˆx)
b
∇ˆu(ˆx)|.
1)
Из условий регу-
лярности триангуляции вытекают следующие равномерные по ˆx ∈ ˆe
оценки:
c
−1
h
2
6 |J
e
(ˆx)| 6 c h
2
, ∥J
e
(ˆx)∥ 6 c h, ∥J
−1
e
(ˆx)∥ 6 c h
−1
. (2.44)
1)
Использование таких квадратур в МКЭ при решении краевых задач для эллиптических
уравнений второго порядка приводит к оптимальным оценкам точности в нормах H
1
и L
2
.
1)
b
∇ = (∂/∂ ˆx
1
, ∂/∂ ˆx
2
)
T
.
64                                                                   Глава 2. Скалярная задача


на элементе ê с положительными коэффициентами, точная на поли-
номах из Pb2m−1 1) :
               ∫              ∑
                              Q
                   φ(x̂)dx̂ ≈                  b
                                ĉi φ(b̂i ) =: S(φ), ĉi > 0.
                     ê                  i=1

Примеры таких квадратур хорошо известны в литературе (см., напр.,
[33, c. 192]). Например, при m = 1 подходящей является формула c
одним узлом (центр тяжести ê) или с тремя узлами (вершины ê).
     Пусть Je (x̂) := Dxe (x̂) — матрица Якоби преобразования xe ,
|Je (x̂)| := det Je (x̂) > 0 — его якобиан. Тогда следующие формулы
определяют искомую составную квадратуру Sh (·):
  ∫              ∑∫                ∑∫
       φ(x)dx =           φ(x)dx =      |Je (x̂)| φ(xe (x̂)) dx̂ ≈
     Ω               e∈Th e                    e∈Th ê

                              ∑∑
                               Q                                           ∑
                          ≈              ĉi |Je (b̂i )| φ(xe (b̂i )) =:          Se (φ) =: Sh (φ).
                              e∈Th i=1                                     e∈Th

Определим дискретные аналоги норм в H 1 (Ω) и L2 (Ω):
                        (             )                  ( )
        ∥uh ∥21,Vh := Sh |∇uh |2 + u2h , ∥uh ∥20,Vh := Sh u2h .


    Теорема 2.13. Пусть триангуляция Th является регулярной,
а квадратурная формула Sb точна на полиномах из Pb2m−2 и имеет
положительные коэффициенты. Тогда имеют место оценки:
                    c−1 ∥uh ∥1,Ω 6 ∥uh ∥1,Vh 6 c ∥uh ∥1,Ω , uh ∈ Vh ,                         (2.42)
                              ∥uh ∥0,Vh 6 c ∥uh ∥0,Ω ,        uh ∈ Vh .                       (2.43)
    Доказательство. Пусть e ∈ Th , Pbm ∋ û(x̂) := uh (xe (x̂)) — об-
раз функции uh = uh |e при преобразовании координат x = xe (x̂). При
                                             b
Je−T := (Je−1 )T имеем |∇uh (x)| = |Je−T (x̂)∇û(x̂)|. 1)
                                                          Из условий регу-
лярности триангуляции вытекают следующие равномерные по x̂ ∈ ê
оценки:
         c−1 h2 6 |Je (x̂)| 6 c h2 , ∥Je (x̂)∥ 6 c h, ∥Je−1 (x̂)∥ 6 c h−1 .                   (2.44)
  1)
    Использование таких квадратур в МКЭ при решении краевых задач для эллиптических
уравнений второго порядка приводит к оптимальным оценкам точности в нормах H 1 и L2 .
  1) b
    ∇ = (∂/∂ x̂1 , ∂/∂ x̂2 )T .

Страницы