Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

54 Глава 2. Скалярная задача
Докажем второе утверждение в с), поскольку первое следует из
принадлежности (β
i
(p), p) множеству K. Обозначим через B
r
круг
малого радиуса r с центром в такой точке x
+
∈ Ω
i
, что
ε
+
= ε(x
+
) = max
x∈Ω
i
ε(x), δ
r
:= max
x∈B
r
ε
+
− ε(x)
ε
∞
,
и пусть V
r
есть множество функций из V , равных нулю вне B
r
. От-
метим, что s
∞
(p, u, u) = 0 на V
r
; σ(x) := ε(x)/ε
∞
6 ε
+
/ε
∞
в B
r
,
σ(x) − 1 =
ε
+
ε
∞
− 1 −
ε
+
− ε(x)
ε
∞
>
ε
+
− ε
∞
− ε
∞
δ
r
ε
∞
=:
d
r
ε
∞
.
Нетрудно видеть, что для любого v ∈ V
r
справедлива оценка
R(p, v) 6
ε
∞
d
r
(
∫
B
r
|∇v|
2
dx
)(
∫
B
r
v
2
dx
)
−1
+
ε
+
p
2
d
r
.
Обозначим через (λ
i
r
, u
i
) — собственные пары оператора Лапласа в
круге B
r
при краевых условиях Дирихле (u
i
продолжим нулем вне
B
r
). Поскольку λ
i
r
= r
−2
λ
i
1
, то
β
2
i
(p) = min
V
i
⊂
e
V
max
v∈V
i
\{0}
R(p, v) 6
ε
∞
λ
i
1
r
2
d
r
+
ε
+
p
2
d
r
.
Следовательно,
k
2
0
6
β
2
i
(p)
p
2
6
ε
∞
λ
i
1
p
2
r
2
d
r
+
ε
+
d
r
.
Переходя здесь к пределу по r → 0, p → ∞ так, чтобы pr → ∞ ,
получим второе утверждение с), так как δ
r
→ 0, ε
+
/d
r
→ k
2
0
.
2.3. Аналитичность дисперсионных кривых.
Согласно следствию 2.5 оператор A(p) допускает представле-
ние в виде суммы самосопряженных неотрицательных операторов,
A(p) =: A(0) + A
1
(p), причем операторы A
1
(p) являются компактны-
ми и ∥A
1
(p)∥ → 0 при p → 0. Оператор A(0) порождается формой
a(0, ·, ·) (см. (2.25)),
(A
1
(p)u, v) := p
2
∫
Ω
σuv dx + 2π
∞
∑
n=−∞
e
K
n
(pR) a
n
(u) a
n
(v), (2.32)
54                                                  Глава 2. Скалярная задача


   Докажем второе утверждение в с), поскольку первое следует из
принадлежности (βi (p), p) множеству K. Обозначим через Br круг
малого радиуса r с центром в такой точке x+ ∈ Ωi , что
                                                        ε+ − ε(x)
           ε+ = ε(x+ ) = max ε(x),        δr := max               ,
                            x∈Ωi                x∈B r      ε∞
и пусть Vr есть множество функций из V , равных нулю вне Br . От-
метим, что s∞ (p, u, u) = 0 на Vr ; σ(x) := ε(x)/ε∞ 6 ε+ /ε∞ в Br ,
                   ε+     ε+ − ε(x) ε+ − ε∞ − ε∞ δr    dr
      σ(x) − 1 =      −1−          >                =:    .
                   ε∞        ε∞           ε∞           ε∞
Нетрудно видеть, что для любого v ∈ Vr справедлива оценка
                         ∫         )( ∫
                    ε∞ (                     )−1 ε p2
                                                  +
          R(p, v) 6        |∇v| dx
                               2         2
                                        v dx    +     .
                    dr                            dr
                            Br             Br

Обозначим через (λir , ui ) — собственные пары оператора Лапласа в
круге Br при краевых условиях Дирихле (ui продолжим нулем вне
Br ). Поскольку λir = r−2 λi1 , то
                                                ε∞ λi1 ε+ p2
             βi2 (p) = min max R(p, v) 6              +      .
                      Vi ⊂Ve v∈Vi \{0}          r2 dr   dr
Следовательно,
                        βi2 (p)   ε∞ λi1     ε+
                      k02 6     6          +    .
                          p2      p2 r2 dr   dr
Переходя здесь к пределу по r → 0, p → ∞ так, чтобы pr → ∞,
получим второе утверждение с), так как δr → 0, ε+ /dr → k02 . 

2.3. Аналитичность дисперсионных кривых.

    Согласно следствию 2.5 оператор A(p) допускает представле-
ние в виде суммы самосопряженных неотрицательных операторов,
A(p) =: A(0) + A1 (p), причем операторы A1 (p) являются компактны-
ми и ∥A1 (p)∥ → 0 при p → 0. Оператор A(0) порождается формой
a(0, ·, ·) (см. (2.25)),
                         ∫             ∞
                                       ∑
    (A1 (p)u, v) := p  2
                           σuv dx + 2π   e n (pR) an (u) an (v),
                                         K                       (2.32)
                                         n=−∞
                     Ω

Страницы