Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

48 Глава 2. Скалярная задача
Здесь σ
0
> 0
1)
. Предположения о гладкости σ в Ω
i
, а также границы
∂Ω
i
, понадобятся нам в следующих параграфах.
Укажем необходимые в дальнейшем свойства форм a и b. Отме-
тим, что пространство V := H
1
(Ω) является гильбертовым. Скаляр-
ное произведение в нем определяется равенством
(u, v) :=
∫
Ω
(∇u · ∇v + uv) dx, u, v ∈ V.
2.1. Свойства форм a и b.
Наиболее просто устроена форма b,
b(u, v) :=
∫
Ω
(σ −1)uv dx.
Лемма 2.6. Форма b(·, ·) является симметричной,
0 6 b(u, u) 6 M
B
∥u∥
2
1,Ω
, u ∈ V.
Порождаемый ею оператор B является самосопряженным, ком-
пактным и неотрицательным
1)
, ker B = {u ∈ V : u = 0 на Ω
i
}.
Доказательство. Поскольку σ = 1 вне Ω
i
, то
0 6 b(u, u) =
∫
Ω
i
(σ −1)u
2
dx 6 M
B
∥u∥
2
0,Ω
6 M
B
∥u∥
2
1,Ω
, (2.23)
где M
B
:= σ
+
− 1. Из симметричности и ограниченности формы b
следует самосопряженность B; компактность B есть следствие первой
оценки сверху в (2.23) и компактности вложения H
1
(Ω) ⊂ L
2
(Ω).
Отметим, что ядро и образ B являются бесконечномерными.
Рассмотрим форму a. Она была определена нами при p > 0 сле-
дующим образом:
a(p, u, v) := a
0
(p, u, v) + s
∞
(p, u, v) :=
:=
∫
Ω
(∇u · ∇v + p
2
σuv) dx + 2π
∞
∑
n=−∞
K
n
(pR) a
n
(u) a
n
(v). (2.24)
1)
см. соответствующее замечание на с. 30.
1)
оператор B в V определяется по теореме Рисса равенством (Bu, v) = b(u, v), u, v ∈ V .
48                                                              Глава 2. Скалярная задача


Здесь σ0 > 0 1) . Предположения о гладкости σ в Ωi , а также границы
∂Ωi , понадобятся нам в следующих параграфах.
    Укажем необходимые в дальнейшем свойства форм a и b. Отме-
тим, что пространство V := H 1 (Ω) является гильбертовым. Скаляр-
ное произведение в нем определяется равенством
                          ∫
                 (u, v) := (∇u · ∇v + uv) dx, u, v ∈ V.
                                  Ω


2.1. Свойства форм a и b.

       Наиболее просто устроена форма b,
                                  ∫
                        b(u, v) := (σ − 1)uv dx.
                                             Ω


       Лемма 2.6. Форма b(·, ·) является симметричной,
                           0 6 b(u, u) 6 MB ∥u∥21,Ω , u ∈ V.
Порождаемый ею оператор B является самосопряженным, ком-
пактным и неотрицательным 1) , ker B = {u ∈ V : u = 0 на Ωi }.
       Доказательство. Поскольку σ = 1 вне Ωi , то
                     ∫
        0 6 b(u, u) = (σ − 1)u2 dx 6 MB ∥u∥20,Ω 6 MB ∥u∥21,Ω ,                          (2.23)
                          Ωi

где MB := σ+ − 1. Из симметричности и ограниченности формы b
следует самосопряженность B; компактность B есть следствие первой
оценки сверху в (2.23) и компактности вложения H 1 (Ω) ⊂ L2 (Ω).
Отметим, что ядро и образ B являются бесконечномерными. 
    Рассмотрим форму a. Она была определена нами при p > 0 сле-
дующим образом:
 a(p, u, v) := a0 (p, u, v) + s∞ (p, u, v) :=
         ∫                                   ∑∞
     := (∇u · ∇v + p σuv) dx + 2π
                            2
                                                Kn (pR) an (u) an (v). (2.24)
                                                     n=−∞
             Ω
 1)
      см. соответствующее замечание на с. 30.
 1)
      оператор B в V определяется по теореме Рисса равенством (Bu, v) = b(u, v), u, v ∈ V .

Страницы