Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

46 Глава 2. Скалярная задача
Отсюда следует, что (β, k, u
p
) — решение задачи (P
∞
).
Замечание 2.8. По определению задача (P) зависит от выбора области Ω, точ-
нее, зависит от параметра R — радиуса Ω. Поэтому правильнее было бы писать (P
R
),
Ω
R
, Γ
R
и т.д. Чтобы не перегружать обозначения, мы эти зависимости от R будем под-
разумевать и не будем указывать явно. Это соглашение дополнительно оправдывается
тем, что в тройке (β, p, u), определяющей решение задачи (P), от R зависит только u,
причем тривиальным образом: u есть сужение на область Ω функции, определенной в
R
2
, которая не зависит от R. С теоретической точки зрения выбор R не важен при усло-
вии, что Ω ⊇ Ω
i
. C практической точки зрения величина R имеет важное значение и его
выбор будет влиять на эффективность численных методов, которые будут обсуждаться
далее.
Замечание 2.9. По-видимому, D. Givoli был первым, кто предложил использо-
вать метод разделения переменных для получения точного нелокального краевого усло-
вия на фиктивной границе при решении краевых задач в неограниченных областях [23]
[24]. Оператор S
Γ
был им назван DtN оператором (Dirichlet-to-Newmann), поскольку
он преобразует, фактически, краевые условия Дирихле на фиктивной границе в усло-
вия Неймана. Мы выбрали конечную (расчетную) область Ω в форме круга исходя из
соображений простоты изложения и проводимых выкладок. Для рассматриваемых на-
ми задач оператор S
Γ
нетрудно определить и для эллиптической области Ω (см., напр.,
[25]). Такой выбор оправдан на практике, если волновод Ω
i
является сильно вытянутым
в одном направлении.
1.6. Пространства функций.
Далее нам понадобятся следующие пространства функций, опре-
деленных на области D ⊆ R
2
. Все интегралы ниже понимаются в
смысле Лебега.
C
k
(D) — пространство k-раз непрерывно дифференцируемых на
D функций, k > 0; C(D) = C
0
(D);
L
p
(D) — пространство измеримых по Лебегу функций, для кото-
рых конечна норма
∥u∥
0,p,D
=
(
∫
D
|u|
p
dx
)
1/p
, 1 6 p < ∞;
L
∞
(D) — пространство измеримых по Лебегу существенно огра-
ниченных функций, с нормой
∥u∥
0,∞,D
= inf{ M : |u| 6 M п.в. в Ω};
W
k
p
(D) — пространство Соболева, 1 6 p 6 ∞, k — целое число,
W
k
p
(D) = {u : D
α
u ∈ L
p
(D), |α| 6 k}.
46                                                      Глава 2. Скалярная задача


Отсюда следует, что (β, k, up ) — решение задачи (P∞ ). 
      Замечание 2.8. По определению задача (P) зависит от выбора области Ω, точ-
нее, зависит от параметра R — радиуса Ω. Поэтому правильнее было бы писать (PR ),
ΩR , ΓR и т.д. Чтобы не перегружать обозначения, мы эти зависимости от R будем под-
разумевать и не будем указывать явно. Это соглашение дополнительно оправдывается
тем, что в тройке (β, p, u), определяющей решение задачи (P), от R зависит только u,
причем тривиальным образом: u есть сужение на область Ω функции, определенной в
R2 , которая не зависит от R. С теоретической точки зрения выбор R не важен при усло-
вии, что Ω ⊇ Ωi . C практической точки зрения величина R имеет важное значение и его
выбор будет влиять на эффективность численных методов, которые будут обсуждаться
далее.
      Замечание 2.9. По-видимому, D. Givoli был первым, кто предложил использо-
вать метод разделения переменных для получения точного нелокального краевого усло-
вия на фиктивной границе при решении краевых задач в неограниченных областях [23]
[24]. Оператор SΓ был им назван DtN оператором (Dirichlet-to-Newmann), поскольку
он преобразует, фактически, краевые условия Дирихле на фиктивной границе в усло-
вия Неймана. Мы выбрали конечную (расчетную) область Ω в форме круга исходя из
соображений простоты изложения и проводимых выкладок. Для рассматриваемых на-
ми задач оператор SΓ нетрудно определить и для эллиптической области Ω (см., напр.,
[25]). Такой выбор оправдан на практике, если волновод Ωi является сильно вытянутым
в одном направлении.


1.6. Пространства функций.

   Далее нам понадобятся следующие пространства функций, опре-
деленных на области D ⊆ R2 . Все интегралы ниже понимаются в
смысле Лебега.
   C k (D) — пространство k-раз непрерывно дифференцируемых на
D функций, k > 0; C(D) = C 0 (D);
   Lp (D) — пространство измеримых по Лебегу функций, для кото-
рых конечна норма
                         (∫        )1/p
              ∥u∥0,p,D =    |u| dx
                               p
                                        , 1 6 p < ∞;
                                 D

   L∞ (D) — пространство измеримых по Лебегу существенно огра-
ниченных функций, с нормой
                  ∥u∥0,∞,D = inf{ M : |u| 6 M п.в. в Ω};
     Wpk (D) — пространство Соболева, 1 6 p 6 ∞, k — целое число,

                  Wpk (D) = {u : Dα u ∈ Lp (D), |α| 6 k}.

Страницы