Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.5. Второй метод. 45
v = v
p
, и учтем определение формы s
∞
. Тогда получим, что
∫
Ω
(∇u·∇v+β
2
uv) dx+s
∞
(p, u, v) = k
2
∫
Ω
εuv dx ∀v ∈ H
1
(Ω). (2.21)
Так как p
2
= β
2
− ε
∞
k
2
, то
k
2
∫
Ω
εuv dx = −p
2
∫
Ω
σuv dx + β
2
∫
Ω
σuv dx.
Поэтому тождество (2.21) преобразуется к виду
∫
Ω
(∇u · ∇v + p
2
σuv) dx + s
∞
(p, u, v) = β
2
∫
Ω
(σ −1)uv dx.
Следовательно, (β, p, u|
Ω
) есть решение задачи (P).
Докажем обратное утверждение. Пусть (β, p, u) — решение (P).
Определим k = ((β
2
− p
2
)/ε
∞
)
1/2
. Так как (β, p) ∈ K, то (β, k) ∈ Λ.
Пусть u
p
и w
p
— метагармонические продолжения u и произвольного
w ∈ V соответственно. Учитывая определение формы s
∞
, имеем
∫
Ω
(∇u
p
· ∇w + β
2
u
p
w) dx +
∫
Ω
∞
(∇u
p
· ∇w
p
+ p
2
u
p
w
p
) dx =
= k
2
∫
Ω
εu
p
w dx. (2.22)
Пусть v — произвольная функция из H
1
(R
2
) такая, что v|
Ω
= w. В
Ω
∞
представим ее в виде v = w
p
+ η. Ясно, что η ∈ H
1
0
(Ω
∞
) и
∫
Ω
∞
(∇u
p
· ∇η + p
2
u
p
η) dx = 0.
Учтем это равенство в (2.22). Тогда получим
∫
Ω
(∇u
p
· ∇v + β
2
u
p
v) dx +
∫
Ω
∞
(∇u
p
· ∇v + p
2
u
p
v) dx = k
2
∫
Ω
εu
p
v dx.
С учетом равенства p
2
= β
2
− ε
∞
k
2
оно преобразуется к виду
∫
R
2
(∇u
p
· ∇v + β
2
u
p
v) dx = k
2
∫
R
2
εu
p
v dx.
1.5. Второй метод.                                                             45


v = vp , и учтем определение формы s∞ . Тогда получим, что
 ∫                                      ∫
   (∇u·∇v +β 2 uv) dx+s∞ (p, u, v) = k 2 εuv dx ∀ v ∈ H 1 (Ω). (2.21)
 Ω                                      Ω

Так как p2 = β 2 − ε∞ k 2 , то
                ∫                ∫              ∫
            k 2
                  εuv dx = −p  2
                                   σuv dx + β 2
                                                  σuv dx.
                 Ω                Ω              Ω

Поэтому тождество (2.21) преобразуется к виду
     ∫                                           ∫
       (∇u · ∇v + p2 σuv) dx + s∞ (p, u, v) = β 2 (σ − 1)uv dx.
      Ω                                              Ω

Следовательно, (β, p, u|Ω ) есть решение задачи (P).
    Докажем обратное утверждение. Пусть (β, p, u) — решение (P).
Определим k = ((β 2 − p2 )/ε∞ )1/2 . Так как (β, p) ∈ K, то (β, k) ∈ Λ.
Пусть up и wp — метагармонические продолжения u и произвольного
w ∈ V соответственно. Учитывая определение формы s∞ , имеем
  ∫                            ∫
    (∇up · ∇w + β up w) dx + (∇up · ∇wp + p2 up wp ) dx =
                 2

  Ω                          Ω∞
                                                             ∫
                                                         2
                                                 =k              εup w dx. (2.22)
                                                             Ω

Пусть v — произвольная функция из H 1 (R2 ) такая, что v|Ω = w. В
Ω∞ представим ее в виде v = wp + η. Ясно, что η ∈ H01 (Ω∞ ) и
                  ∫
                     (∇up · ∇η + p2 up η) dx = 0.
                     Ω∞

Учтем это равенство в (2.22). Тогда получим
 ∫                         ∫                             ∫
   (∇up · ∇v + β up v) dx + (∇up · ∇v + p up v) dx = k
                2                         2            2
                                                           εup v dx.
 Ω                          Ω∞                                      Ω

С учетом равенства p2 = β 2 − ε∞ k 2 оно преобразуется к виду
             ∫                               ∫
               (∇up · ∇v + β up v) dx = k
                              2            2
                                               εup v dx.
               R2                           R2

Страницы