Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.4. Метагармоническое продолжение функции. 43
Функционал |u
p
|
2
1,p
нетрудно вычислить в терминах коэффициен-
тов Фурье функции u
Γ
. Рассуждая также как при доказательстве
леммы 2.1, получим
s
∞
(p, u, u) := |u
p
|
2
1,p
= 2π
∞
∑
n=−∞
K
n
(pR) |a
n
(u)|
2
∀u ∈ V.
Положим здесь u := u + tv, t ∈ R, v ∈ V , и вычислим производную
по t от обеих частей при t = 0. В результате придем к формуле (2.8).
Принимая во внимание следствие 2.3, теперь имеем:
s
∞
(p, u, u) := |u
p
|
2
1,p
6 1
p
min
v∈H
1
(Ω
∞
):v|
Γ
=u
∥v∥
2
1,Ω
∞
=:
=: 1
p
|u|
2
1/2,Γ
6 c
2
0
(R
0
) 1
p
∥u∥
2
1,Ω
.
Следовательно,
∥u
p
∥
2
1,R
2
= ∥u∥
2
1,Ω
+ ∥u
p
∥
2
1,Ω
∞
6 ∥u∥
2
1,Ω
+ s
∞
(p, u, u)/1
p
6
6 (1 + M
s
(p)/1
p
)∥u∥
2
1,Ω
=: c
2
(p)∥u∥
2
1,Ω
.
Следствие 2.4. Справедливо тождество
∫
Ω
∞
(
∇u
p
· ∇v + p
2
u
p
v
)
dx = 0 ∀v ∈ H
1
0
(Ω
∞
).
Лемма 2.5. Пусть ограниченная функция u является гармони-
ческой или метагармонической вне замкнутого круга B
R
0
, a
n
(u|
∂B
R
0
)
обозначает коэффициент Фурье функции u|
∂B
R
0
∈ L
2
(∂B
R
0
). Тогда
при всех целых n и R > R
0
справедливы оценки
|a
n
(u|
∂B
R
)| 6 (R
0
/R)
|n|
|a
n
(u|
∂B
R
0
)|.
Доказательство. Рассмотрим случай метагармонической функ-
ции u. Воспользуемся представлением (2.6). Оно справедливо в R
2
\
B
R
при любом R > R
0
. Поэтому вне B
R
0
имеем:
u =
∞
∑
n=−∞
K
n
(pr)
K
n
(pR
0
)
a
n
(u|
∂B
R
0
) e
inφ
. (2.19)
1.4. Метагармоническое продолжение функции.                                             43


   Функционал |up |21,p нетрудно вычислить в терминах коэффициен-
тов Фурье функции u Γ . Рассуждая также как при доказательстве
леммы 2.1, получим
                                            ∞
                                            ∑
       s∞ (p, u, u) :=   |up |21,p   = 2π          Kn (pR) |an (u)|2 ∀ u ∈ V.
                                            n=−∞

Положим здесь u := u + tv, t ∈ R, v ∈ V , и вычислим производную
по t от обеих частей при t = 0. В результате придем к формуле (2.8).
    Принимая во внимание следствие 2.3, теперь имеем:

 s∞ (p, u, u) := |up |21,p 6 1p          1
                                           min          ∥v∥21,Ω∞ =:
                                     v∈H (Ω∞ ):v|Γ =u

                                                 =: 1p |u|21/2,Γ 6 c20 (R0 ) 1p ∥u∥21,Ω .

Следовательно,

 ∥up ∥21,R2 = ∥u∥21,Ω + ∥up ∥21,Ω∞ 6 ∥u∥21,Ω + s∞ (p, u, u)/1p 6
                                     6 (1 + Ms (p)/1p )∥u∥21,Ω =: c2 (p)∥u∥21,Ω . 


   Следствие 2.4. Справедливо тождество
         ∫
           (                   )
             ∇up · ∇v + p2 up v dx = 0 ∀ v ∈ H01 (Ω∞ ).
            Ω∞


    Лемма 2.5. Пусть ограниченная функция u является гармони-
ческой или метагармонической вне замкнутого круга BR0 , an (u|∂BR0 )
обозначает коэффициент Фурье функции u|∂BR0 ∈ L2 (∂BR0 ). Тогда
при всех целых n и R > R0 справедливы оценки

                    |an (u|∂BR )| 6 (R0 /R)|n| |an (u|∂BR0 )|.

   Доказательство. Рассмотрим случай метагармонической функ-
ции u. Воспользуемся представлением (2.6). Оно справедливо в R2 \
BR при любом R > R0 . Поэтому вне BR0 имеем:
                        ∑∞
                            Kn (pr)
                    u=                an (u|∂BR0 ) einφ .                          (2.19)
                       n=−∞
                            Kn (pR0 )

Страницы