Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.4. Метагармоническое продолжение функции. 41
Пусть z = iy, y > 0. По определению K
n
(z) имеем в этом случае:
K
n−1
(z)/K
n
(z) = i H
(1)
n−1
(y)/H
(1)
n
(y),
где H
(1)
n
(y) = J
n
(y)+ iY
n
(y) — функция Ханкеля порядка n. Поэтому
|ϕ(z)| := |
e
K
n
(z)/z| =
J
2
n−1
(y) + Y
2
n−1
(y)
J
2
n
(y) + Y
2
n
(y)
6 1,
так как согласно формуле Николсона [22, c. 444]
J
2
n
(y) + Y
2
n
(y) =
8
π
2
y
∞
∫
0
K
0
(
2y sh(t)
)
ch(2nt) dt ↗ n.
Докажем вторую оценку в (2.16). Дифференцируя функцию
K
n
:= −zK
′
n
/K
n
и используя равенство (zK
′
n
)
′
= (z
2
+n
2
)K
n
/z, легко
вычислить, что
K
′
n
(z) =
(
K
2
n
(z) − z
2
− n
2
)
/z.
Отсюда при вещественных z = r получим K
′
n
(r) 6 2|n| при n ̸= 0,
поскольку K
n
(r) 6 |n| + r. При z ∈ C
+
и n ̸= 0 имеем K
n
(z) =:
|n| + zϕ(z), где |ϕ(z)| 6 1. Поэтому
K
′
n
(z) = 2|n|ϕ(z) + (ϕ
2
(z) − 1)z.
Отсюда следует требуемая оценка: |K
′
n
(z)| 6 2(|n| + |z|).
Графики функций r → K
n
(r)−K
n
(0) для ряда значений n приве-
дены на рис. 2. Отметим качественное различие свойств кривых при
n = 0 и n ̸= 0. Оно, в основном, объясняется формулами (2.17).
1.4. Метагармоническое продолжение функции.
Положим
H
1
0
(Ω
∞
) := {v ∈ H
1
(Ω
∞
) : v|
Γ
= 0},
произвольно фиксируем вещественное p, p > 0, и определим функции
1
x
:= min{1, x
2
}, 1
x
:= max{1, x
2
}, x ∈ R
+
.
Отметим, что 1
x
→ 0 при x → 0.
1.4. Метагармоническое продолжение функции.                            41


Пусть z = iy, y > 0. По определению Kn (z) имеем в этом случае:
                                              (1)       (1)
                   Kn−1 (z)/Kn (z) = i Hn−1 (y)/Hn (y),
     (1)
где Hn (y) = Jn (y) + iYn (y) — функция Ханкеля порядка n. Поэтому
                                           2            2
                         e n (z)/z| =     Jn−1  (y) + Yn−1  (y)
              |ϕ(z)| := |K                                      6 1,
                                            Jn2 (y) + Yn2 (y)
так как согласно формуле Николсона [22, c. 444]
                                    ∫∞
                               8           (        )
           Jn2 (y) + Yn2 (y) = 2         K0 2y sh(t) ch(2nt) dt ↗ n.
                              π y
                                    0

   Докажем вторую оценку в (2.16). Дифференцируя функцию
Kn := −zKn′ /Kn и используя равенство (zKn′ )′ = (z 2 + n2 )Kn /z, легко
вычислить, что              (                  )
                   K′n (z) = K2n (z) − z 2 − n2 /z.
Отсюда при вещественных z = r получим K′n (r) 6 2|n| при n ̸= 0,
поскольку Kn (r) 6 |n| + r. При z ∈ C+ и n ̸= 0 имеем Kn (z) =:
|n| + zϕ(z), где |ϕ(z)| 6 1. Поэтому

                     K′n (z) = 2|n|ϕ(z) + (ϕ2 (z) − 1)z.

Отсюда следует требуемая оценка: |K′n (z)| 6 2(|n| + |z|). 
   Графики функций r → Kn (r) − Kn (0) для ряда значений n приве-
дены на рис. 2. Отметим качественное различие свойств кривых при
n = 0 и n ̸= 0. Оно, в основном, объясняется формулами (2.17).

1.4. Метагармоническое продолжение функции.

   Положим

                   H01 (Ω∞ ) := {v ∈ H 1 (Ω∞ ) : v|Γ = 0},

произвольно фиксируем вещественное p, p > 0, и определим функции

              1x := min{1, x2 }, 1x := max{1, x2 }, x ∈ R+ .

Отметим, что 1x → 0 при x → 0.

Страницы