Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 40 стр.

40                                                       Глава 2. Скалярная задача


1.3. Свойства функций Kn .

   Учитывая важность для нас функций r → Kn (r), зафиксируем
их свойства, отмеченные в ходе доказательства леммы 2.2, а также
укажем некоторые новые.
   Лемма 2.3. При каждом целом n функция z → Kn (z) является
аналитической 1) в правой полуплоскости C+ := {r + iy : r > 0} и
непрерывной в C+ := {r + iy : r > 0}. Кроме того
                  Kn (z̄) = Kn (z),    Kn = K−n ,      Kn (0) = |n|;       (2.15)
          e n (z)/z| 6 1, |K′ (z)| 6 2(|n| + |z|), z ∈ C+ , n ̸= 0,
         |K                                                                (2.16)
                            n

где Ke n (z) = Kn (z) − Kn (0). При малых z справедливы формулы
                 ( )                 z2                   z2
   e           −1 1      e                   e
   K0 (z) ≈ ln        , K±1 (z) =          , Kn (z) ≈            . (2.17)
                    z              e 0 (z)
                                   K                  2(|n| − 1)
При r ∈ R+ имеем: |n| 6 Kn (r) 6 |n| + r, 0 6 K′n (r) 6 2|n|, если
n ̸= 0; K0 (0) = 0, K′0 (r) > 0 при r > 0.
    Доказательство. Известно, что при целых n модифициро-
ванная функция Бесселя Kn является аналитической на z-плоскости
с разрезом вдоль отрицательной вещественной оси, причем в C+ она
не имеет нулей (см., напр., [21, c. 377]). Поскольку
            Kn (z) := −zKn′ (z)/Kn (z) = Kn (0) + zKn−1 (z)/Kn (z),
то отсюда следует, что Kn является аналитической в C+ и непрерыв-
ной в C+ \ {0}. Непрерывность в нуле следует из асимптотик (2.17),
которые легко вывести из асимптотик в нуле функций Kn (см. (2.12)).
Равенства (2.15), как и оценки |n| 6 Kn (r) 6 |n| + r при n ̸= 0, были
установлены в лемме 2.2.
    Докажем первую оценку в (2.16). Функция ϕ(z) := K   e n (z)/z равна
Kn−1 (z)/Kn (z) (см. (2.13)) и является аналитической в C+ . Поэтому
максимум ее модуля достигается либо на мнимой оси, либо в бес-
конечно удаленной точке. Поскольку Kn (z̄) = Kn (z), то достаточно
ограничиться рассмотрением мнимой полуоси {0+iy, y > 0}. В беско-
нечно удаленной точке |Kn−1 (z)/Kn (z)| = 1, поскольку при |z| → ∞
                                        (            )
                  Kn (z) = (2/πz)1/2 e−z 1 + O(z −1 ) .
 1)
      дифференцируемой в смысле комплексного анализа