Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.2. Пространство H
1/2
(Γ). 39
0 5 10 15
1
1.1
1.2
1.3
r
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=10
n=30
Рис. 3. Графики функций (n
2
+ r
2
)
1/2
/I
n
(r) для ряда значений n.
Доказательство. Требуемые оценки непосредственно вытека-
ют из лемм 2.1, 2.2, если учесть, что c
0
(R) 6 c
0
(R
0
).
Следствие 2.3. Для любой функции u ∈ H
1
(Ω)
|u|
1/2,Γ
6 c
0
∥u∥
1,Ω
, c
0
:= c
0
(R
0
).
Доказательство. Из определения следует, что ∥u∥
1/2,Γ
6
∥u∥
1,Ω
. Поэтому |u|
1/2,Γ
6 c
0
∥u∥
1/2,Γ
6 c
0
∥u∥
1,Ω
.
Замечание 2.7. Норма ∥·∥
1/2,Γ
, введеная выше, имеет два важных свойства, не
зависящих от радиуса R области Ω:
∥u∥
1/2,Γ
6 ∥u∥
1,Ω
, u ∈ H
1
(Ω), ∥u∥
1/2,Γ
6 ∥u∥
1,Ω
∞
, u ∈ H
1
(Ω
∞
).
Вторая оценка следует из неравенств ∥u∥
1/2,Γ
6 |u|
1/2,Γ
6 ∥u∥
1,Ω
∞
. Учитывая следую-
щие оценки, на доказательстве которых мы не будем останавливаться (см. рис. 3):
1 6 (n
2
+ r
2
)
1/2
/I
n
(r) 6 C
2
(r), r ∈ R
+
, n = 0, ±1, ±2, . . .
придем к третьей эквивалентной нормировке пространства H
1/2
(Γ):
 u 
2
1/2,Γ
:=
∞
∑
n=−∞
(n
2
+ R
2
)
1/2
|a
n
(u)|
2
. (2.14)
Имеем ∥u∥
1/2,Γ
6  u 
1/2,Γ
6 C(r)∥u∥
1/2,Γ
. Здесь C
2
(r) := r/I
0
(r) — строго монотонно
убывающая функция (см. кривую n = 0 на рис. 3), C
2
(r) ≈ 2/r при малых r. Ясно, что
можно принять R = 1 в (2.14) (при этом изменятся лишь постоянные эквивалентности).
Норма (2.14) наиболее часто используется для нормировки пространства H
1/2
(Γ).
1.2. Пространство H 1/2 (Γ).                                                                39




                1.3
                                  n=0

                       n=1
                1.2



                           n=2
                1.1
                                 n=3

                                        n=4
                                                   n=10
                                                                  n=30
                  1
                   0                    5                   10                15
                                                    r

           Рис. 3. Графики функций (n2 + r2 )1/2 /In (r) для ряда значений n.

   Доказательство. Требуемые оценки непосредственно вытека-
ют из лемм 2.1, 2.2, если учесть, что c0 (R) 6 c0 (R0 ). 
    Следствие 2.3. Для любой функции u ∈ H 1 (Ω)
                        |u|1/2,Γ 6 c0 ∥u∥1,Ω , c0 := c0 (R0 ).

   Доказательство. Из определения следует, что ∥u∥1/2,Γ 6
∥u∥1,Ω . Поэтому |u|1/2,Γ 6 c0 ∥u∥1/2,Γ 6 c0 ∥u∥1,Ω . 
    Замечание 2.7. Норма ∥ · ∥1/2,Γ , введеная выше, имеет два важных свойства, не
зависящих от радиуса R области Ω:

           ∥u∥1/2,Γ 6 ∥u∥1,Ω , u ∈ H 1 (Ω),        ∥u∥1/2,Γ 6 ∥u∥1,Ω∞ , u ∈ H 1 (Ω∞ ).

Вторая оценка следует из неравенств ∥u∥1/2,Γ 6 |u|1/2,Γ 6 ∥u∥1,Ω∞ . Учитывая следую-
щие оценки, на доказательстве которых мы не будем останавливаться (см. рис. 3):

               1 6 (n2 + r2 )1/2 /In (r) 6 C 2 (r), r ∈ R+ , n = 0, ±1, ±2, . . .

придем к третьей эквивалентной нормировке пространства H 1/2 (Γ):
                                            ∞
                                            ∑
                          u 21/2,Γ :=       (n2 + R2 )1/2 |an (u)|2 .                (2.14)
                                            n=−∞

Имеем ∥u∥1/2,Γ 6  u 1/2,Γ 6 C(r)∥u∥1/2,Γ . Здесь C 2 (r) := r/I0 (r) — строго монотонно
убывающая функция (см. кривую n = 0 на рис. 3), C 2 (r) ≈ 2/r при малых r. Ясно, что
можно принять R = 1 в (2.14) (при этом изменятся лишь постоянные эквивалентности).
Норма (2.14) наиболее часто используется для нормировки пространства H 1/2 (Γ).

Страницы