Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 37 стр.

1.2. Пространство H 1/2 (Γ).                                                                                           37


       3                                                      1.5


                                                                         n=1                      n=0
                      n=0
       2
                            n=1
                                                             1.25                      n=2
                                  n=2
                                     n=3
       1                                   n=4                                                   n=3
                                                 n=5                                                   n=4

                                                                                                             n=5
                                                               1
       0         1                2                    3        0    1         2             3          4          5
                        r                                                          r


Рис. 2. На левом рисунке представлены графики функций Kn (r) − n для ряда значений
n, на правом — функций Kn (r)/In (r).

   Доказательство. Модифицированные функции Бесселя In (z)
и Kn (z) 1) являются линейно независимыми решениями уравнения
                            z 2 w′′ + z w′ − (z 2 + n2 )w = 0.
Ясно, что K−n (z) = Kn (z) и K−n (z) = Kn (z). Аналогично I−n (z) =
In (z). Поэтому можно ограничиться неотрицательными n.
     Учитывая асимптотические формулы при малых z 1)
                (1)           (n − 1)! ( 2 )n            1 ( z )n
    K0 (z) ≈ ln    , Kn (z) ≈                 , In (z) ≈          , (2.12)
                 z               2       z               n! 2
нетрудно получить, что Kn (0) = In (0) = n, n > 0. Для определителя
Вронского справедлива формула
               W (Kn , In ) := −Kn′ (z)In (z) + Kn (z)In′ (z) = 1/z,
откуда следует, что Kn (r) + In (r) = 1/Kn (r)In (r). Продифференци-
руем это тождество:
                                                           Kn (r) − In (r)
                            K′n (r) + I′n (r) =                            .
                                                           rKn (r)In (r)
Полагая здесь a(r) := (rKn (r)In (r))−1 , f (r) := 2K′n (r), для определе-
ния y(r) := Kn (r) − In (r) получим задачу:
                     y ′ (r) + a(r)y(r) = f (r), r > 0, y(0) = 0.
  1)
     относительно свойств этих функций см., напр., [20, c. 247], [21, c. 374]. Далее z означает
комплексную переменную, w′ (z) := dw(z)/dz; r ∈ R+ .
  1)
     f (z) ≈ g(z), если f (z) = g(z) + o(g(z)).