Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.2. Пространство H
1/2
(Γ). 35
сходится к u, то есть, если u
N
есть отрезок ряда Фурье,
u
N
(s) =
N
∑
n=−N
a
n
(u) e
inφ
,
то ∥u − u
N
∥
1/2,Γ
→ 0 при N → ∞ (также ∥u
N
∥
1/2,Γ
→ ∥u∥
1/2,Γ
).
Отметим, что поскольку u
N
вещественная функция, то
u
N
= ¯u
N
=
N
∑
n=−N
a
n
(u) e
−inφ
.
Лемма 2.1. Пусть I
n
(r), K
n
(r) — модифицированные функции
Бесселя порядка n,
I
n
(r) := r
I
′
n
(r)
I
n
(r)
, K
n
(r) := −r
K
′
n
(r)
K
n
(r)
, r ∈ R
+
,
функция u ∈ H
1/2
(Γ) представлена рядом Фурье (2.10). Тогда
∥u∥
2
1/2,Γ
= 2π
∞
∑
n=−∞
I
n
(R) |a
n
(u)|
2
, |u|
2
1/2,Γ
= 2π
∞
∑
n=−∞
K
n
(R) |a
n
(u)|
2
.
Доказательство. Вычислим норму ∥u∥
1/2,Γ
. Пусть u
N
— от-
резок ряда Фурье функции u,
∥˜u
N
∥
2
1,Ω
= inf
v∈H
1
(Ω), v|
Γ
=u
N
{
∥v∥
2
1,Ω
:=
∫
Ω
(|∇v|
2
+ |v|
2
) dx
}
.
Хорошо известно, что ˜u
N
является решением следующей внутренней
краевой задачи
1)
:
−△˜u
N
+ ˜u
N
= 0, x ∈ Ω, ˜u
N
Γ
= u
N
.
Ее решение находится методом разделения переменных:
˜u
N
=
N
∑
n=−N
I
n
(r)
I
n
(R)
a
n
(u) e
inφ
.
1)
решение этой задачи является бесконечно дифференцируемым в Ω.
1.2. Пространство H 1/2 (Γ).                                                                    35


сходится к u, то есть, если uN есть отрезок ряда Фурье,
                                               ∑
                                               N
                               uN (s) =               an (u) einφ ,
                                               n=−N

то ∥u − uN ∥1/2,Γ → 0 при N → ∞ (также ∥uN ∥1/2,Γ → ∥u∥1/2,Γ ).
Отметим, что поскольку uN вещественная функция, то
                                                   ∑
                                                   N
                            uN = ūN =                 an (u) e−inφ .
                                               n=−N


   Лемма 2.1. Пусть In (r), Kn (r) — модифицированные функции
Бесселя порядка n,
                            In′ (r)                    Kn′ (r)
                In (r) := r         ,     Kn (r) := −r         , r ∈ R+ ,
                            In (r)                     Kn (r)

функция u ∈ H 1/2 (Γ) представлена рядом Фурье (2.10). Тогда
                    ∞
                    ∑                                                   ∞
                                                                        ∑
∥u∥21/2,Γ    = 2π          In (R) |an (u)| ,   2
                                                   |u|21/2,Γ     = 2π           Kn (R) |an (u)|2 .
                    n=−∞                                                n=−∞


    Доказательство. Вычислим норму ∥u∥1/2,Γ . Пусть uN — от-
резок ряда Фурье функции u,
                            {         ∫                }
       ∥ũN ∥1,Ω =
             2
                   1
                     inf     ∥v∥1,Ω := (|∇v| + |v| ) dx .
                                2           2     2
                        v∈H (Ω), v|Γ =uN
                                                             Ω

Хорошо известно, что ũN является решением следующей внутренней
краевой задачи1) :

                     −△ũN + ũN = 0, x ∈ Ω, ũN                   Γ
                                                                       = uN .

Ее решение находится методом разделения переменных:
                                   ∑
                                   N
                                     In (r)
                             ũN =          an (u) einφ .
                                     In (R)
                                        n=−N
 1)
      решение этой задачи является бесконечно дифференцируемым в Ω.

Страницы