Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.1. Первый метод. 33
определения (β, p, u) получим следующую задачу в круге, в которую
параметр p нелинейно входит в нелокальное краевое условие:
−∆u + p
2
σu = β
2
(σ −1)u, x ∈ Ω, (2.7)
u
ν
+ S
Γ
(p)u = 0, x ∈ Γ.
Здесь
S
Γ
(p)u := −u
p ν
=
1
R
∞
∑
n=−∞
K
n
(Rp) a
n
(u) e
inφ
, K
n
(r) := −r
K
′
n
(r)
K
n
(r)
.
Эта задача и есть искомая задача в ограниченной области.
Далее мы исследуем разрешимость задачи (2.7), а также постро-
им и изучим численный метод ее решения на основе метода конечных
элементов. Для этого нам понадобится ее обобщенная (слабая) фор-
мулировка. Она получается стандартным способом: уравнение (2.7),
предварительно умноженное на произвольно выбранную функцию
v ∈ V := H
1
(Ω), интегрируется по области Ω, а затем используется
формула интегрирования по частям и учитывается краевое условие
на Γ. Обобщенная формулировка задачи (2.7) имеет следующий вид:
найти (β, p, u) ∈ K × V \ {0} такие, что
(P) a(p, u, v) = β
2
b(u, v) ∀v ∈ V,
где
a(p, u, v) := a
0
(p, u, v) + s
∞
(p, u, v),
s
∞
(p, u, v) := 2π
∞
∑
n=−∞
K
n
(pR) a
n
(u) a
n
(v), (2.8)
a
0
(p, u, v) :=
∫
Ω
(∇u · ∇v + p
2
σuv) dx, b(u, v) :=
∫
Ω
(σ − 1)uv dx.
Здесь для комплексного числа z = a + ib, ¯z = a − ib означает его
комплексное сопряжение.
Замечание 2.3. Формы a
0
и b, в отличие от формы s
∞
, являются традицион-
ными. Свойства s
∞
определяются как скоростью убывания с ростом n коэффициентов
Фурье a
n
(u), u ∈ V , так и свойствами функций r → K
n
(r) при произвольных n. Далее
мы покажем, в частности, что K
n
(r) > |n| при всех r > 0 и n и K
n
(r) < |n| + r при
n ̸= 0. Отметим также, что в силу равенства Парсеваля
2π
∞
∑
n=−∞
|a
n
(u)|
2
=
1
R
∫
Γ
u
2
dΓ. (2.9)
1.1. Первый метод.                                                                    33


определения (β, p, u) получим следующую задачу в круге, в которую
параметр p нелинейно входит в нелокальное краевое условие:
                        −∆u + p2 σu = β 2 (σ − 1)u, x ∈ Ω,                      (2.7)
                            uν + SΓ (p)u = 0, x ∈ Γ.
Здесь
                               ∞
                           1 ∑                                           Kn′ (r)
  SΓ (p)u := −up ν       =        Kn (Rp) an (u) einφ ,     Kn (r) := −r         .
                           R n=−∞                                        Kn (r)
Эта задача и есть искомая задача в ограниченной области.
    Далее мы исследуем разрешимость задачи (2.7), а также постро-
им и изучим численный метод ее решения на основе метода конечных
элементов. Для этого нам понадобится ее обобщенная (слабая) фор-
мулировка. Она получается стандартным способом: уравнение (2.7),
предварительно умноженное на произвольно выбранную функцию
v ∈ V := H 1 (Ω), интегрируется по области Ω, а затем используется
формула интегрирования по частям и учитывается краевое условие
на Γ. Обобщенная формулировка задачи (2.7) имеет следующий вид:
    найти (β, p, u) ∈ K × V \ {0} такие, что
                        (P)    a(p, u, v) = β 2 b(u, v) ∀ v ∈ V,
где
                    a(p, u, v) := a0 (p, u, v) + s∞ (p, u, v),
                                     ∑∞
                 s∞ (p, u, v) := 2π        Kn (pR) an (u) an (v),               (2.8)
                    ∫                 n=−∞
                                                                  ∫
  a0 (p, u, v) :=       (∇u · ∇v + p σuv) dx,
                                      2
                                                     b(u, v) :=       (σ − 1)uv dx.
                    Ω                                             Ω
Здесь для комплексного числа z = a + ib, z̄ = a − ib означает его
комплексное сопряжение.
     Замечание 2.3. Формы a0 и b, в отличие от формы s∞ , являются традицион-
ными. Свойства s∞ определяются как скоростью убывания с ростом n коэффициентов
Фурье an (u), u ∈ V , так и свойствами функций r → Kn (r) при произвольных n. Далее
мы покажем, в частности, что Kn (r) > |n| при всех r > 0 и n и Kn (r) < |n| + r при
n ̸= 0. Отметим также, что в силу равенства Парсеваля
                                  ∑∞               ∫
                                                 1
                              2π      |an (u)| =
                                              2
                                                     u2 dΓ.                    (2.9)
                                 n=−∞
                                                 R
                                                 Γ

Страницы