Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

32 Глава 2. Скалярная задача
O
W
x
2
x
1
W
i
W
8
G
Рис. 1. Разбиение плоскости.
что между их решениями имеется простое взаимно-однозначное со-
ответствие: (β, k, u) — решение задачи (2.2) тогда и только тогда,
когда (β, p, u) — решение (2.5).
Сведем задачу (2.5) к задаче в ограниченной области, предпола-
гая, что начало координат находится в Ω
i
.
Пусть B
R
0
:= {x : |x| < R
0
} — круг минимального радиуса R
0
такой, что Ω
i
⊆ B
R
0
. Выберем R так, что R > R
0
и положим Ω := B
R
,
Γ := ∂Ω, Ω
∞
:= R
2
\ Ω (см. рис. 1).
Решение задачи (2.5) удовлетворяет уравнению (2.3) вне Ω
i
и по-
этому является там гладким. Обозначим через u
p
(u) его сужение
на область Ω
∞
(Ω). Тогда u
p
удовлетворяет уравнению (2.3), а на Γ
справедливы равенства
u
p
= u, u
p ν
= u
ν
.
Здесь ν — единичная нормаль из Ω на Γ, u
ν
— производная u в
направлении ν. Функция u
p
, как решение внешней краевой задачи
−∆u
p
+ p
2
u
p
= 0, x ∈ Ω
∞
, u
p
= u, x ∈ Γ,
легко находится методом разделения переменных. Имеем
u
p
=
∞
∑
n=−∞
K
n
(pr)
K
n
(pR)
a
n
(u) e
inφ
, a
n
(u) :=
1
2π
2π
∫
0
u
r=R
e
−inφ
dφ. (2.6)
Здесь (r, φ) — полярные координаты с началом в центре B
R
, K
n
(r) —
модифицированная функция Бесселя порядка n. Таким образом, для
32                                                          Глава 2. Скалярная задача


                                   x2


                        G                               W




                                                             8
                                         Wi

                                    O               x1

                              W




                            Рис. 1. Разбиение плоскости.
что между их решениями имеется простое взаимно-однозначное со-
ответствие: (β, k, u) — решение задачи (2.2) тогда и только тогда,
когда (β, p, u) — решение (2.5).
    Сведем задачу (2.5) к задаче в ограниченной области, предпола-
гая, что начало координат находится в Ωi .
    Пусть BR0 := {x : |x| < R0 } — круг минимального радиуса R0
такой, что Ωi ⊆ BR0 . Выберем R так, что R > R0 и положим Ω := BR ,
Γ := ∂Ω, Ω∞ := R2 \ Ω (см. рис. 1).
    Решение задачи (2.5) удовлетворяет уравнению (2.3) вне Ωi и по-
этому является там гладким. Обозначим через up (u) его сужение
на область Ω∞ (Ω). Тогда up удовлетворяет уравнению (2.3), а на Γ
справедливы равенства

                              up = u,     up ν = uν .

Здесь ν — единичная нормаль из Ω на Γ, uν — производная u в
направлении ν. Функция up , как решение внешней краевой задачи

               −∆up + p2 up = 0, x ∈ Ω∞ ,          up = u, x ∈ Γ,

легко находится методом разделения переменных. Имеем

           ∑∞                                     ∫      2π
               Kn (pr)                          1
     up =              an (u) einφ , an (u) :=      u            r=R
                                                                       e−inφ dφ.   (2.6)
          n=−∞
               Kn (pR)                         2π
                                                         0

Здесь (r, φ) — полярные координаты с началом в центре BR , Kn (r) —
модифицированная функция Бесселя порядка n. Таким образом, для

Страницы