Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 2
СКАЛЯРНАЯ ЗАДАЧА О ПОВЕРХНОСТНЫХ
СОБСТВЕННЫХ ВОЛНАХ
В данной главе изучается один численный метод решения задачи
о поверхностных собственных волнах цилиндрических диэлектриче-
ских волноводов, находящихся в однородной окружающей среде, в
приближении слабонаправляющего волновода. Он основан на сочета-
нии метода точных нелокальных граничных условий и метода конеч-
ных элементов.
Рассматривается классическая модель, согласно которой волно-
вод предполагается неограниченным и линейно изотропным, то есть
относительная диэлектрическая проницаемость ε волновода не меня-
ется вдоль оси Ox
3
и является достаточно гладкой функцией попереч-
ных координат. Будем для определенности считать, что поперечное
сечение волновода Ω
i
есть односвязная ограниченная область в R
2
,
имеющая кусочно-гладкую границу γ := ∂Ω
i
,
ε := ε
∞
> 0 в Ω
e
, ε
+
:= max
x∈Ω
i
ε(x) > ε
∞
, min
x∈Ω
i
ε(x) > ε
∞
1)
. (2.1)
где Ω
e
:= R
2
\Ω
i
. Магнитная проницаемость волновода всюду предпо-
лагается равной магнитной проницаемости свободного пространства.
Математическая формулировка задачи сводится к нахождению
пар чисел (β, k) ∈ Λ и ненулевых вещественных u ∈ H
1
(R
2
), удовле-
творяющих п. вс. в R
2
уравнению [18]
−∆u + β
2
u = k
2
εu, (2.2)
или, в обобщенной постановке, тождеству
(P
∞
)
∫
R
2
(∇u · ∇v + β
2
uv) dx = k
2
∫
R
2
εuv dx ∀v ∈ H
1
(R
2
).
1)
Рассмотрение многосвязных и несвязных областей Ω
i
, так же как и волноводов с размытой
границей (в этом случае необходимо писать знак > вместо > в последнем условии в (2.1)), не
вносит дополнительных трудностей.
                                       Глава 2
 СКАЛЯРНАЯ ЗАДАЧА О ПОВЕРХНОСТНЫХ
       СОБСТВЕННЫХ ВОЛНАХ


    В данной главе изучается один численный метод решения задачи
о поверхностных собственных волнах цилиндрических диэлектриче-
ских волноводов, находящихся в однородной окружающей среде, в
приближении слабонаправляющего волновода. Он основан на сочета-
нии метода точных нелокальных граничных условий и метода конеч-
ных элементов.
    Рассматривается классическая модель, согласно которой волно-
вод предполагается неограниченным и линейно изотропным, то есть
относительная диэлектрическая проницаемость ε волновода не меня-
ется вдоль оси Ox3 и является достаточно гладкой функцией попереч-
ных координат. Будем для определенности считать, что поперечное
сечение волновода Ωi есть односвязная ограниченная область в R2 ,
имеющая кусочно-гладкую границу γ := ∂Ωi ,
       ε := ε∞ > 0 в Ωe , ε+ := max ε(x) > ε∞ , min ε(x) > ε∞ 1) .                  (2.1)
                                     x∈Ωi                x∈Ωi

где Ωe := R2 \Ωi . Магнитная проницаемость волновода всюду предпо-
лагается равной магнитной проницаемости свободного пространства.
    Математическая формулировка задачи сводится к нахождению
пар чисел (β, k) ∈ Λ и ненулевых вещественных u ∈ H 1 (R2 ), удовле-
творяющих п. вс. в R2 уравнению [18]
                                −∆u + β 2 u = k 2 εu,                               (2.2)
или, в обобщенной постановке, тождеству
           ∫                           ∫
     (P∞ )   (∇u · ∇v + β uv) dx = k
                         2           2
                                         εuv dx ∀ v ∈ H 1 (R2 ).
               R2                                  R2
  1)
    Рассмотрение многосвязных и несвязных областей Ωi , так же как и волноводов с размытой
границей (в этом случае необходимо писать знак > вместо > в последнем условии в (2.1)), не
вносит дополнительных трудностей.

Страницы