Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

28 Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями
где ˜a
h
:= a
h
+ b
h
,
˜
λ
h
:= λ
h
+ 1. Обе формы ˜a
h
и b
h
положительно
определены на
e
V
h
. Отсюда следует существование пар (λ
hK
(p), U
K
h
(p))
и свойства пространств U
K
h
(p).
Доказательство остальных утверждений теоремы проводится со-
вершенно аналогично доказательству соответствующих утверждений
теоремы 1.5.
Замечание 1.2. Сопоставим условия A
1
−A
5
и A
h
1
−A
h
5
. Видим, что формы a
h
и
b
h
наследуют свойства невозмущенных форм a и b, кроме условия неотрицательности
формы a. Если условия A
h
1
− A
h
5
дополнить условием
A
h
0
) A
h
(p) > 0, r
0
:= dim(ker A
h
(0)),
то можно утверждать также, что (см. аналогичное утверждение теоремы 1.5):
λ
h
i
(p) → 0 при p → +0, i = 1, 2, . . . , r
0
; λ
h
r
0
+1
(0) > 0.
4.2. Оценки точности.
Пусть K > 1, λ
K
(p) — собственное число кратности r
K
(p) зада-
чи (P); U
K
(p) — соответствующее ему собственное подпространство
(см. (1.23), c. 23); целое k связано с K согласно (1.22), c. 23. Пусть
далее λ
h
i
(p), i = 1, . . . , N
b
h
— упорядоченные по возрастанию с учетом
кратности собственные числа задачи (P
h
), y
h
i
(p) — соответствующие
им собственные элементы. Числа λ
h
k
(p), λ
h
k+1
(p) , . . . , λ
h
k+r
K
(p)−1
(p)
будем рассматривать как приближения собственного числа λ
K
(p), а
пространство
U
K
h
(p) := span{y
h
k
(p), y
h
k+1
(p) , . . . , y
h
k+r
K
(p)−1
(p)},
как аппрокcимацию собственного подпространства U
K
(p).
Введем обозначения. Для заданных форм d и d
h
положим
E
d
(φ
h
) := sup
v
h
∈V
h
,∥v
h
∥=1
|d(p, φ
h
, v
h
) − d
h
(p, φ
h
, v
h
)|, φ
h
∈ V
h
,
через P
h
обозначим ортопроектор в V
A(p)+B(p)
на V
h
. Пусть
ϵ
h
(u) := inf
v
h
∈V
h
∥u − v
h
∥ + E
a
(P
h
u) + E
b
(P
h
u), u ∈ V,
Σ
h
(y) := |a(p, y, y) − a
h
(p, y, y)| + |b(p, y, y) − b
h
(p, y, y)|, y ∈ V
h
.
Дополнительно к условиям A
h
1
− A
h
5
предположим, что
28                                             Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями


где ãh := ah + bh , λ̃h := λh + 1. Обе формы ãh и bh положительно
определены на Veh . Отсюда следует существование пар (λhK (p), UhK (p))
и свойства пространств UhK (p).
    Доказательство остальных утверждений теоремы проводится со-
вершенно аналогично доказательству соответствующих утверждений
теоремы 1.5. 
     Замечание 1.2. Сопоставим условия A1 − A5 и Ah1 − Ah5 . Видим, что формы ah и
bh наследуют свойства невозмущенных форм a и b, кроме условия неотрицательности
формы a. Если условия Ah1 − Ah5 дополнить условием

      Ah0 )              Ah (p) > 0, r0 := dim(ker Ah (0)),

то можно утверждать также, что (см. аналогичное утверждение теоремы 1.5):
    λhi (p) → 0 при p → +0, i = 1, 2, . . . , r0 ; λhr0 +1 (0) > 0.


4.2. Оценки точности.

    Пусть K > 1, λK (p) — собственное число кратности rK (p) зада-
чи (P); U K (p) — соответствующее ему собственное подпространство
(см. (1.23), c. 23); целое k связано с K согласно (1.22), c. 23. Пусть
далее λhi (p), i = 1, . . . , Nhb — упорядоченные по возрастанию с учетом
кратности собственные числа задачи (Ph ), yih (p) — соответствующие
им собственные элементы. Числа λhk (p), λhk+1 (p) , . . . , λhk+rK (p)−1 (p)
будем рассматривать как приближения собственного числа λK (p), а
пространство

              UhK (p) := span{ykh (p), yk+1
                                        h                  h
                                            (p) , . . . , yk+rK (p)−1
                                                                      (p)},

как аппрокcимацию собственного подпространства U K (p).
   Введем обозначения. Для заданных форм d и dh положим

         Ed (φh ) :=       sup           |d(p, φh , vh ) − dh (p, φh , vh )|, φh ∈ Vh ,
                       vh ∈Vh ,∥vh ∥=1

через Ph обозначим ортопроектор в VA(p)+B(p) на Vh . Пусть

              ϵh (u) := inf ∥u − vh ∥ + Ea (Ph u) + Eb (Ph u), u ∈ V,
                         vh ∈Vh
     Σh (y) := |a(p, y, y) − ah (p, y, y)| + |b(p, y, y) − bh (p, y, y)|, y ∈ Vh .

Дополнительно к условиям Ah1 − Ah5 предположим, что

Страницы