Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

26 Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями
при фиксированном i > 1 либо имеет одно решение p
i
= p
i
(λ) (если
λ
i
(0) 6 λ), либо не имеет решения. Из определения функции n(x)
следует, что в точности n(λ) таких уравнений имеют решение.
§ 4. Метод Галеркина с возмущениями для
параметрической задачи
4.1. Дискретная задача.
Пусть, как и в § 2, {V
h
}
h
— предельно плотная последователь-
ность конечномерных подпространств V , симметричные билинейные
формы a
h
(p, ·, ·) и b
h
(p, ·, ·) есть возмущения (аппроксимации) форм
a(p, ·, ·) и b(p, ·, ·) на V
h
× V
h
при фиксированных h и p. Рассмотрим
аппроксимацию задачи (P) методом Галеркина с возмущениями: при
каждом p ∈ R
+
найти такие λ
h
∈ R и ненулевые y ∈ V
h
, что
(P
h
) a
h
(p, y, v) = λ
h
b
h
(p, y, v) ∀v ∈ V
h
.
Пусть h и p — фиксированы, N
h
есть размерность пространства
V
h
, a элементы φ
1
, φ
2
, . . ., φ
N
h
определяют в нем базис. Тогда задача
(P
h
) сводится к алгебраической задаче на собственные значения
A
h
(p)x = λ
h
B
h
(p)x, 0 ̸= x ∈ R
N
h
.
Здесь x есть вектор коэффициентов разложения y по указанному ба-
зису, симметричные матрицы A
h
(p) и B
h
(p) имеют элементы
a
ij
(p) := a
h
(p, φ
i
, φ
j
), b
ij
(p) := b
h
(p, φ
i
, φ
j
), i, j = 1, 2, . . . , N
h
.
Будем говорить, что вектор x соответствует элементу y, а матрица
A
h
(p) (B
h
(p)) порождается формой a
h
(b
h
).
Определение 1.2. Матричная функция p → C
h
(p) является
(a) непрерывной в нуле, если
∥C
h
(p) − C
h
(0)∥ → 0 при p → +0;
(b) локально липшиц-непрерывной на (0, ∞), если для любого за-
мкнутого отрезка ω ⊂ (0, ∞) найдется такая постоянная L
c
(ω), что
∥C
h
(p) − C
h
(¯p)∥ 6 L
c
(ω)|p − ¯p |, p, ¯p ∈ ω, u ∈ V
h
.
26                                         Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями


при фиксированном i > 1 либо имеет одно решение pi = pi (λ) (если
λi (0) 6 λ), либо не имеет решения. Из определения функции n(x)
следует, что в точности n(λ) таких уравнений имеют решение. 

               § 4. Метод Галеркина с возмущениями для
                          параметрической задачи

4.1. Дискретная задача.

    Пусть, как и в § 2, {Vh }h — предельно плотная последователь-
ность конечномерных подпространств V , симметричные билинейные
формы ah (p, ·, ·) и bh (p, ·, ·) есть возмущения (аппроксимации) форм
a(p, ·, ·) и b(p, ·, ·) на Vh × Vh при фиксированных h и p. Рассмотрим
аппроксимацию задачи (P) методом Галеркина с возмущениями: при
каждом p ∈ R+ найти такие λh ∈ R и ненулевые y ∈ Vh , что
       (Ph )               ah (p, y, v) = λh bh (p, y, v) ∀ v ∈ Vh .
     Пусть h и p — фиксированы, Nh есть размерность пространства
Vh , a элементы φ1 , φ2 , . . ., φNh определяют в нем базис. Тогда задача
(Ph ) сводится к алгебраической задаче на собственные значения

                       Ah (p)x = λh Bh (p)x,        0 ̸= x ∈ RNh .

Здесь x есть вектор коэффициентов разложения y по указанному ба-
зису, симметричные матрицы Ah (p) и Bh (p) имеют элементы

     aij (p) := ah (p, φi , φj ), bij (p) := bh (p, φi , φj ), i, j = 1, 2, . . . , Nh .

Будем говорить, что вектор x соответствует элементу y, а матрица
Ah (p) (Bh (p)) порождается формой ah (bh ).
     Определение 1.2. Матричная функция p → Ch (p) является
     (a) непрерывной в нуле, если

                        ∥Ch (p) − Ch (0)∥ → 0 при p → +0;

   (b) локально липшиц-непрерывной на (0, ∞), если для любого за-
мкнутого отрезка ω ⊂ (0, ∞) найдется такая постоянная Lc (ω), что

               ∥Ch (p) − Ch (p̄)∥ 6 Lc (ω)|p − p̄ |, p, p̄ ∈ ω, u ∈ Vh .

Страницы