Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

24 Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями
0 0.2 0.4
0,4
0,8
p
λ
λ
1
λ
2
λ
3
λ
4
λ
5
λ
6
=λ
7
C
B
A
D
0 0.2 0.4
0,4
0,8
p
λ
λ
1
λ
2
λ
3
λ
4
λ
5
λ
6
=λ
7
C
B
A
D
Рис. 1. На левом рисунке изображена часть плоскости (p, λ) и гладкие дисперсионные
кривые, пронумерованные по возрастанию с учетом кратности. В точках 0 и B рожда-
ется по две кривых кратности 1, в D — одна кривая кратности 3; в точке A кривые
пересекаются, в C — расщепляются. На правом рисунке использована другая нумера-
ция этих же кривых (также с учетом кратности).
Отсюда легко выводится оценка |R(p, v) − R(¯p, v)| = ϵ(p, ¯p), где
ϵ(p, ¯p) := c(¯p)
(
∥A(p) − A(¯p)∥ + ∥B(p) − B(¯p)∥
)
,
c(¯p) := m
−2
AB
(
M
A
(¯p) + M
B
)
.
Таким образом, R(p, v) −ϵ(p, ¯p) 6 R(¯p, v) 6 R(p, v) + ϵ(p, ¯p); поэтому
из принципа Куранта-Фишера имеем
λ
i
(p) − ϵ(p, ¯p) 6 λ
i
(¯p) 6 λ
i
(p) + ϵ(p, ¯p),
или |λ
i
(p) −λ
i
(¯p)| 6 ϵ(p, ¯p). Отсюда следуют требуемые утверждения
b), поскольку при ¯p = 0 имеем (см. условие A
5
):
ϵ(p, 0) = c(0)
(
∥A(p) − A(0)∥ + ∥B(p) − B(0)∥
)
→ 0 при p → 0,
а для всех p, ¯p ∈ ω := [ω
1
, ω
2
] ⊂ (0, ∞)
ϵ(p, ¯p) 6 c
ω
(
L
A
(ω) + L
B
(ω)
)
|p − ¯p |,
где c
ω
есть верхняя грань c(p) на ω.
Наконец, число λ
1
(0) = 0 имеет кратность r
0
(см. теорему 1.4).
Поэтому λ
i
(0) = 0, i 6 r
0
, и заключительное утверждение теоремы
следует из монотонности и непрерывности функций λ
i
в нуле.
Замечание 1.1. Утверждение о локальной липшицевости функций λ
i
(p) не мо-
жет быть усилено, даже если дисперсионные кривые являются бесконечно дифферен-
цируемыми. Нетрудно видеть, что это связано с возможным пересечением кривых (см.
левый рис. 1; функция λ
3
(p) не имеет производной в точке, соответствующей точке A).
24                                                  Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями



     0,8                                                   0,8
                      λ6=λ7                                               λ6=λ7

                                   λ4                                                  λ4
             C                                                   C
      D          λ5                     A                   D        λ5                 A
     0,4                                λ3                 0,4                              λ3
λ




                                                       λ
                                             λ2                                                  λ2

      B                                                     B
                                                                                  λ1
                              λ1


       0                0.2                   0.4            0              0.2                   0.4
                         p                                                   p

Рис. 1. На левом рисунке изображена часть плоскости (p, λ) и гладкие дисперсионные
кривые, пронумерованные по возрастанию с учетом кратности. В точках 0 и B рожда-
ется по две кривых кратности 1, в D — одна кривая кратности 3; в точке A кривые
пересекаются, в C — расщепляются. На правом рисунке использована другая нумера-
ция этих же кривых (также с учетом кратности).

Отсюда легко выводится оценка |R(p, v) − R(p̄, v)| = ϵ(p, p̄), где
                          (                               )
         ϵ(p, p̄) := c(p̄) ∥A(p) − A(p̄)∥ + ∥B(p) − B(p̄)∥ ,
                                   (              )
                      c(p̄) := m−2
                                AB  M A (p̄) + M B .

Таким образом, R(p, v) − ϵ(p, p̄) 6 R(p̄, v) 6 R(p, v) + ϵ(p, p̄); поэтому
из принципа Куранта-Фишера имеем
                      λi (p) − ϵ(p, p̄) 6 λi (p̄) 6 λi (p) + ϵ(p, p̄),
или |λi (p) − λi (p̄)| 6 ϵ(p, p̄). Отсюда следуют требуемые утверждения
b), поскольку при p̄ = 0 имеем (см. условие A5 ):
                   (                                 )
   ϵ(p, 0) = c(0) ∥A(p) − A(0)∥ + ∥B(p) − B(0)∥ → 0 при p → 0,
а для всех p, p̄ ∈ ω := [ω1 , ω2 ] ⊂ (0, ∞)
                                (               )
                   ϵ(p, p̄) 6 cω LA (ω) + LB (ω) |p − p̄ |,
где cω есть верхняя грань c(p) на ω.
    Наконец, число λ1 (0) = 0 имеет кратность r0 (см. теорему 1.4).
Поэтому λi (0) = 0, i 6 r0 , и заключительное утверждение теоремы
следует из монотонности и непрерывности функций λi в нуле. 
    Замечание 1.1. Утверждение о локальной липшицевости функций λi (p) не мо-
жет быть усилено, даже если дисперсионные кривые являются бесконечно дифферен-
цируемыми. Нетрудно видеть, что это связано с возможным пересечением кривых (см.
левый рис. 1; функция λ3 (p) не имеет производной в точке, соответствующей точке A).

Страницы