Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.1. Прямая задача. 23
указывая каждое число λ
K
(p) в этом ряду столько раз, какова его
кратность. Ясно, что функции λ
i
= λ
i
(p), p ∈ R
+
, i > 1, в совокупно-
сти полностью определяют дисперсионные кривые.
Как и в предыдущем параграфе, номеру K числа λ
K
(p) поставим
в соответствие целое k по правилу: λ
k
(p) = λ
K
(p),
λ
k−1
(p) < λ
k
(p) = . . . = λ
k+r
K
(p)−1
(p) < λ
k+r
K
(p)
(p), (1.22)
а в каждом пространстве U
K
(p) фиксируем некоторый ортонормиро-
ванный в V
A(p)+B(p)
базис так, что
U
K
(p) = span{u
k
(p), u
k+1
(p), . . . , u
k+r
K
(p)−1
(p)}. (1.23)
Тогда при каждом p ∈ R
+
последовательности λ
i
(p), i = 1, 2, . . .,
будет поставлена в соответствие (неоднозначно) последовательность
собственных элементов u
i
(p).
Теорема 1.5. При каждом i > 1 функция p → λ
i
(p)
a) является неотрицательной и строго монотонно возрастает;
b) непрерывна в нуле, локально липшиц-непрерывна на (0, ∞).
Кроме того, λ
i
(p) ↘ +0 при p → +0, i = 1, . . . , r
0
; λ
r
0
+1
(0) > 0.
Доказательство. При каждом p ∈ R
+
числа λ
i
(p) + 1, i > 1,
являются собственными числами задачи (1.21). Учитывая следствие
1.1 и используя минимаксный принцип Куранта-Фишера, имеем
1
λ
i
(p) + 1
= max
V
i
⊂
e
V
min
v∈V
i
\{0}
e
R(p, v), (1.24)
где максимум берется по всем подпространствам
e
V размерности i,
e
R(p, v) :=
b(p, v, v)
a(p, v, v) + b(p, v, v)
=
1
a(p, v, v)/b(p, v, v) + 1
.
Из условия A
4
заключаем, что
e
R(p, v) строго монотонно убывает по p
при фиксированном v ∈
e
V ; поэтому утверждение a) следует из (1.24).
Пусть p, ¯p ∈ R
+
, a(p) = a(p, v, v), b(p) = b(p, v, v). Имеем
R(p, v) − R(¯p, v) =
(b(p) − b(¯p))a(¯p) + (a(¯p) − a(p))b(¯p)
(a(p) + b(p))(a(¯p) + b(¯p))
.
3.1. Прямая задача.                                                           23


указывая каждое число λK (p) в этом ряду столько раз, какова его
кратность. Ясно, что функции λi = λi (p), p ∈ R+ , i > 1, в совокупно-
сти полностью определяют дисперсионные кривые.
    Как и в предыдущем параграфе, номеру K числа λK (p) поставим
в соответствие целое k по правилу: λk (p) = λK (p),

      λk−1 (p) < λk (p) = . . . = λk+rK (p)−1 (p) < λk+rK (p) (p),         (1.22)

а в каждом пространстве U K (p) фиксируем некоторый ортонормиро-
ванный в VA(p)+B(p) базис так, что

        U K (p) = span{uk (p), uk+1 (p), . . . , uk+rK (p)−1 (p)}.         (1.23)

Тогда при каждом p ∈ R+ последовательности λi (p), i = 1, 2, . . .,
будет поставлена в соответствие (неоднозначно) последовательность
собственных элементов ui (p).
    Теорема 1.5. При каждом i > 1 функция p → λi (p)
a) является неотрицательной и строго монотонно возрастает;
b) непрерывна в нуле, локально липшиц-непрерывна на (0, ∞).
Кроме того, λi (p) ↘ +0 при p → +0, i = 1, . . . , r0 ; λr0 +1 (0) > 0.
    Доказательство. При каждом p ∈ R+ числа λi (p) + 1, i > 1,
являются собственными числами задачи (1.21). Учитывая следствие
1.1 и используя минимаксный принцип Куранта-Фишера, имеем
                           1                      e v),
                                = max min R(p,                             (1.24)
                      λi (p) + 1 Vi ⊂Ve v∈Vi \{0}

где максимум берется по всем подпространствам Ve размерности i,

       e v) :=           b(p, v, v)                    1
       R(p,                               =                          .
                   a(p, v, v) + b(p, v, v) a(p, v, v)/b(p, v, v) + 1

Из условия A4 заключаем, что R(p,e v) строго монотонно убывает по p
при фиксированном v ∈ Ve ; поэтому утверждение a) следует из (1.24).
   Пусть p, p̄ ∈ R+ , a(p) = a(p, v, v), b(p) = b(p, v, v). Имеем
                             (b(p) − b(p̄))a(p̄) + (a(p̄) − a(p))b(p̄)
      R(p, v) − R(p̄, v) =                                             .
                                   (a(p) + b(p))(a(p̄) + b(p̄))

Страницы