Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.1. Прямая задача. 21
функция p → c(p, u, u) является дифференцируемой при каждом
фиксированном u ∈ V и
d
dp
c(p, u, u)
6 M(p)∥u∥
2
,
M — локально ограниченная функция
1)
, то C(p) является диффе-
ренцируемой и
(C
′
(p)u, u) =
d
dp
c(p, u, u) ∀u ∈ V.
Определение 1.1. Оператор-функции со свойствами a) и b) от-
несем к классу L(R
+
, V ).
Определим класс рассматриваемых задач. Будем считать, что:
A
1
) 0 6 A(p) 6 M
A
(p)I, 0 6 B(p) 6 M
B
I при p ∈ R
+
, где M
A
—
локально ограниченная функция;
A
2
) r
0
:= dim(ker A(0)) ∈ [1, ∞). При каждом p ∈ R
+
: B(p) — ком-
пактный оператор, ker B(p) = ker B(0), dim(ImB(p)) = ∞;
A
3
) A(p) + B(p) > m
AB
I при p ∈ R
+
, m
AB
> 0;
A
4
) отнoшение Рэлея R(p, u) := a(p, u, u)/b(p, u, u) строго монотонно
возрастает по p ∈ R
+
при фиксированном u ∈
e
V , где
e
V есть
ортогональное дополнение ker B(0) до пространства V
A(p)+B(p)
;
A
5
) оператор-функции A(p) и B(p) принадлежат классу L(R
+
, V );
Отметим, что независимость величин M
B
и m
AB
от p не является
для дальнейшего существенным.
Изучим по отдельности вопросы (i) и (ii), поставленные выше.
3.1. Прямая задача.
На вопросы (i) отвечает
1)
ограниченная на каждом компакте из (0, ∞)
3.1. Прямая задача.                                                 21


функция p → c(p, u, u) является дифференцируемой при каждом
фиксированном u ∈ V и
                              d
                                 c(p, u, u) 6 M (p)∥u∥2 ,
                              dp

M — локально ограниченная функция1) , то C(p) является диффе-
ренцируемой и
                                          d
                        (C ′ (p)u, u) =      c(p, u, u) ∀ u ∈ V.
                                          dp


    Определение 1.1. Оператор-функции со свойствами a) и b) от-
несем к классу L(R+ , V ). 
       Определим класс рассматриваемых задач. Будем считать, что:
A1 ) 0 6 A(p) 6 MA (p)I, 0 6 B(p) 6 MB I при p ∈ R+ , где MA —
     локально ограниченная функция;
A2 ) r0 := dim(ker A(0)) ∈ [1, ∞). При каждом p ∈ R+ : B(p) — ком-
     пактный оператор, ker B(p) = ker B(0), dim(ImB(p)) = ∞;
A3 ) A(p) + B(p) > mAB I при p ∈ R+ , mAB > 0;
A4 ) отнoшение Рэлея R(p, u) := a(p, u, u)/b(p, u, u) строго монотонно
     возрастает по p ∈ R+ при фиксированном u ∈ Ve , где Ve есть
     ортогональное дополнение ker B(0) до пространства VA(p)+B(p) ;
A5 ) оператор-функции A(p) и B(p) принадлежат классу L(R+ , V );
   Отметим, что независимость величин MB и mAB от p не является
для дальнейшего существенным.
   Изучим по отдельности вопросы (i) и (ii), поставленные выше.

3.1. Прямая задача.

       На вопросы (i) отвечает
 1)
      ограниченная на каждом компакте из (0, ∞)

Страницы