Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

20 Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями
(ii) сколько имеется решений (λ, u) c заданным λ при различных зна-
чениях параметра p (обратная задача)?
Ответы на эти вопросы зависят, естественно, от свойств операторов
задачи. В связи с этим напомним некоторые определения. Говорят,
что самосопряженная оператор-функция p → C(p), p ∈ [0, ∞), явля-
ется
(a) непрерывной на [0, ∞), если ∥C(p) − C(¯p)∥ → 0 при ¯p → p ∈
[0, ∞) ;
(b) локально липшиц-непрерывной на (0, ∞), если для любого за-
мкнутого отрезка ω ⊂ (0, ∞) найдется такая постоянная L
C
(ω), что
1)
∥C(p) − C(¯p)∥ 6 L
C
(ω)|p − ¯p |, p, ¯p ∈ ω ;
(c) дифференцируемой на (0, ∞), если существует такая самосо-
пряженная оператор-функция p → C
′
(p), определенная на (0, ∞), что
C(p) − C(¯p)
p − ¯p
− C
′
(p)
→ 0 при ¯p → p ∈ (0, ∞) ;
(d) аналитической на (0, ∞), если в некоторой окрестности про-
извольной точки p
0
∈ (0, ∞) она представляется сходящимся рядом
C(p) =
∞
∑
n=0
C
n
(p
0
) (p − p
0
)
n
,
имеющим ненулевой радиус сходимости. Здесь C
n
— самосопряжен-
ные операторы;
(e) строго монотонно возрастающей (неубывающей, невозраста-
ющей, . . . ), если функция p → c(p, u, u) является строго монотон-
но возрастающей (неубывающей, невозрастающей, . . . ) при каждом
фиксированном u ∈ V . Здесь c(p, u, u) := (C(p)u, u) — квадратичная
форма оператора C(p).
Напомним также, что
∥C(p)∥ = sup
u∈V \{0}
|c(p, u, u)|
∥u∥
2
= sup
u∈V, ∥u∥=1
|c(p, u, u)|.
Ясно, что дифференцируемая оператор-функция является локаль-
но липшиц-непрерывной и, тем более, — непрерывной. Далее, если
1)
если L
C
(ω) не зависит от ω, то C(p) является липшиц-непрерывной.
20                                           Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями


(ii) сколько имеется решений (λ, u) c заданным λ при различных зна-
      чениях параметра p (обратная задача)?
Ответы на эти вопросы зависят, естественно, от свойств операторов
задачи. В связи с этим напомним некоторые определения. Говорят,
что самосопряженная оператор-функция p → C(p), p ∈ [0, ∞), явля-
ется
    (a) непрерывной на [0, ∞), если ∥C(p) − C(p̄)∥ → 0 при p̄ → p ∈
[0, ∞) ;
    (b) локально липшиц-непрерывной на (0, ∞), если для любого за-
мкнутого отрезка ω ⊂ (0, ∞) найдется такая постоянная LC (ω), что 1)
                    ∥C(p) − C(p̄)∥ 6 LC (ω)|p − p̄ |, p, p̄ ∈ ω ;
   (c) дифференцируемой на (0, ∞), если существует такая самосо-
пряженная оператор-функция p → C ′ (p), определенная на (0, ∞), что
                 C(p) − C(p̄)
                              − C ′ (p) → 0 при p̄ → p ∈ (0, ∞) ;
                    p − p̄
   (d) аналитической на (0, ∞), если в некоторой окрестности про-
извольной точки p0 ∈ (0, ∞) она представляется сходящимся рядом
                                       ∞
                                       ∑
                             C(p) =          Cn (p0 ) (p − p0 )n ,
                                       n=0

имеющим ненулевой радиус сходимости. Здесь Cn — самосопряжен-
ные операторы;
    (e) строго монотонно возрастающей (неубывающей, невозраста-
ющей, . . . ), если функция p → c(p, u, u) является строго монотон-
но возрастающей (неубывающей, невозрастающей, . . . ) при каждом
фиксированном u ∈ V . Здесь c(p, u, u) := (C(p)u, u) — квадратичная
форма оператора C(p).
    Напомним также, что
                                     |c(p, u, u)|
               ∥C(p)∥ = sup                       = sup |c(p, u, u)| .
                            u∈V \{0}    ∥u∥2       u∈V, ∥u∥=1

Ясно, что дифференцируемая оператор-функция является локаль-
но липшиц-непрерывной и, тем более, — непрерывной. Далее, если
 1)
      если LC (ω) не зависит от ω, то C(p) является липшиц-непрерывной.

Страницы