Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

18 Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями
Докажем вторую оценку в (1.17). Аналогично (1.19) имеем:
a
h
(y, w
h
) = a
h
(w
h
, w
h
), b
h
(y, w
h
) = b
h
(w
h
, w
h
),
b
h
(w
h
, w
h
) > µ
h
k−1
a
h
(w
h
, w
h
).
Таким образом,
b
h
(y, w
h
) − µ
k
a
h
(y, w
h
) = b
h
(w
h
, w
h
) − µ
k
a
h
(w
h
, w
h
) >
> (µ
h
k−1
− µ
k
)a
h
(w
h
, w
h
) > c m
a
ρ
−1
K
∥w
h
∥
2
.
Теорема 1.3. Пусть выполнены условия (H
1
)–(H
3
) и
max
u∈U
K
, ∥u∥=1
ϵ
h
(u) → 0, h → 0.
Тогда при достаточно малом h справедливы оценки
|µ
K
− µ
h
i
| 6 c
K
max
u∈U
K
,∥u∥=1
(
ϵ
2
h
(u) + Σ
h
(P
h
u)
)
, i = k, . . . , k + r
K
− 1.
Здесь постоянная c
K
зависит от µ
K
, но не зависит от h, K > 1.
Доказательство. Непосредственно проверяется, что для лю-
бого u ∈ U
K
и y ∈ V
h
имеет место следующее равенство (µ
i
= µ
K
при
i = k, . . . , k + r
K
− 1):
(µ
h
i
− µ
K
)a
h
(y, y
i
) = b(y − u, y
i
− u) − µ
i
a(y −u, y
i
− u)+
+ [b
h
(y, y) − b(y, y)] − µ
i
[a
h
(y, y) − a(y, y)]+
+ [b
h
(y, y
i
− y) − b(y, y
i
− y)] − µ
i
[a
h
(y, y
i
− y) − a(y, y
i
− y)],
где y
i
— собственный элемент, соответствующий µ
h
i
, ∥y
i
∥
A
= 1. Тогда
|µ
K
−µ
h
i
||a
h
(y, y
i
)| 6 c
K
(
∥y −u∥∥y
i
−u∥+ Σ
h
(y) + E
ab
(y)∥y
i
−y∥
)
6
6 c
K
(
∥y −u∥∥y
i
− u∥ + Σ
h
(y) + E
ab
(y)(∥y
i
− u∥ + ∥y −u∥)
)
.
Выберем здесь u = P
K
y
i
(P
K
— ортопроектор в V
A
на U
K
), положим
y = P
h
u и учтем, что
∥y −u∥ := ∥P
h
u − u∥ 6 c ϵ
h
(u), E
ab
(y) 6 ϵ
h
(u),
∥y
i
− u∥ 6 c ∥y
i
− u∥
A
6 c sup
y∈U
K
h
, ∥y∥
A
=1
∥y −P
K
y∥
A
=:
=: c Θ
V
A
(U
K
, U
K
h
) 6 c Θ
V
(U
K
, U
K
h
) 6 c
K
max
u∈U
K
,∥u∥=1
ϵ
h
(u).
18                                       Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями


     Докажем вторую оценку в (1.17). Аналогично (1.19) имеем:
            ah (y, wh ) = ah (wh , wh ),      bh (y, wh ) = bh (wh , wh ),
                        bh (wh , wh ) > µhk−1 ah (wh , wh ).
Таким образом,

 bh (y, wh ) − µk ah (y, wh ) = bh (wh , wh ) − µk ah (wh , wh ) >
                         > (µhk−1 − µk )ah (wh , wh ) > c ma ρ−1
                                                              K ∥wh ∥ .
                                                                     2
                                                                                     

     Теорема 1.3. Пусть выполнены условия (H1 )–(H3 ) и
                          max          ϵh (u) → 0,    h → 0.
                       u∈U K , ∥u∥=1

Тогда при достаточно малом h справедливы оценки
                       (2                    )
 |µK − µhi | 6 cK max
                  K
                        ϵ h (u) + Σ h (Ph u)  , i = k, . . . , k + rK − 1.
                   u∈U ,∥u∥=1

Здесь постоянная cK зависит от µK , но не зависит от h, K > 1.
    Доказательство. Непосредственно проверяется, что для лю-
бого u ∈ U K и y ∈ Vh имеет место следующее равенство (µi = µK при
i = k, . . . , k + rK − 1):

 (µhi − µK )ah (y, yi ) = b(y − u, yi − u) − µi a(y − u, yi − u)+
              + [bh (y, y) − b(y, y)] − µi [ah (y, y) − a(y, y)]+
       + [bh (y, yi − y) − b(y, yi − y)] − µi [ah (y, yi − y) − a(y, yi − y)],
где yi — собственный элемент, соответствующий µhi , ∥yi ∥A = 1. Тогда
                               (                                          )
  |µK − µhi ||ah (y, yi )| 6 cK ∥y − u∥∥yi − u∥ + Σh (y) + Eab (y)∥yi − y∥ 6
               (                                                          )
       6 cK ∥y − u∥∥yi − u∥ + Σh (y) + Eab (y)(∥yi − u∥ + ∥y − u∥) .
Выберем здесь u = P K yi (P K — ортопроектор в VA на U K ), положим
y = Ph u и учтем, что
           ∥y − u∥ := ∥Ph u − u∥ 6 c ϵh (u),            Eab (y) 6 ϵh (u),

 ∥yi − u∥ 6 c ∥yi − u∥A 6 c             sup        ∥y − P K y∥A =:
                                 y∈UhK , ∥y∥A =1

             =: c ΘVA (U K , UhK ) 6 c ΘV (U K , UhK ) 6 cK          max         ϵh (u).
                                                                  u∈U K ,∥u∥=1

Страницы