Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.3. Оценки точности. 17
Так как a(y, η
h
) = a(P
h
u, η
h
) = a(u, η
h
) = 1/µ
K
b(u, η
h
), то
b
h
(y, η
h
) − µ
K
a
h
(y, η
h
) =
= [b
h
(y, η
h
) − b(y, η
h
)] + µ
K
[a(y, η
h
) − a
h
(y, η
h
)] + b(y −u, η
h
).
Отсюда при c := max{1, µ
K
, M
B
} имеем:
σ
h
(y) 6 c
(
E
ab
(y) + ∥u − P
h
u∥
)
= c ϵ
h
(u).
Докажем, что справедливы оценки
∥v
h
∥ 6 c
K
σ
h
(y), ∥w
h
∥ 6 c
K
σ
h
(y). (1.17)
Тогда ∥P
h
u − Q
h
u∥ = ∥v
h
+ w
h
∥ 6 c
K
σ
h
(y) 6 c
K
ϵ
h
(u), а также
Θ
V
(U
K
, U
K
h
) 6 max
u∈U
K
, ∥u∥=1
∥u − Q
h
u∥ 6 max
u∈U
K
, ∥u∥=1
(
∥u − P
h
u∥+
+ ∥P
h
u − Q
h
u∥
)
6 c
K
max
u∈U
K
, ∥u∥=1
ϵ
h
(u),
то есть утверждение теоремы будет доказано.
Получим сначала первую оценку в (1.17). Пусть ρ
K
характеризует
отделенность собственного числа µ
K
, т. е.
ρ
K
:= max
µ
i
: µ
i
̸=µ
k
|µ
k
− µ
i
|
−1
.
Поскольку µ
h
k
→ µ
k
при h → 0, то для достаточно малых h имеем
µ
k
− µ
h
k+r
K
> c (µ
k
− µ
k+r
K
), µ
h
k−1
− µ
k
> c (µ
k−1
− µ
k
) (1.18)
с некоторой постоянной c ∈ (0, 1). Так как система {y
i
} является a
h
-
ортогональной, то из определения v
h
и (1.9) вытекает, что
a
h
(y, v
h
) = a
h
(v
h
, v
h
), b
h
(y, v
h
) = b
h
(v
h
, v
h
),
b
h
(v
h
, v
h
) 6 µ
h
k+r
K
a
h
(v
h
, v
h
).
(1.19)
Поэтому из (1.19), (1.18) и (H
2
) имеем:
− b
h
(y, v
h
) + µ
K
a
h
(y, v
h
) = −b
h
(v
h
, v
h
) + µ
k
a
h
(v
h
, v
h
) >
> (µ
k
− µ
h
k+r
K
)a
h
(v
h
, v
h
) > c m
a
(µ
k
− µ
k+r
K
)∥v
h
∥
2
> c m
a
ρ
−1
K
∥v
h
∥
2
.
Отсюда следует первая оценка в (1.17).
2.3. Оценки точности.                                                               17


Так как a(y, ηh ) = a(Ph u, ηh ) = a(u, ηh ) = 1/µK b(u, ηh ), то

 bh (y, ηh ) − µK ah (y, ηh ) =
       = [bh (y, ηh ) − b(y, ηh )] + µK [a(y, ηh ) − ah (y, ηh )] + b(y − u, ηh ).

Отсюда при c := max{1, µK , MB } имеем:
                       (                    )
             σh (y) 6 c Eab (y) + ∥u − Ph u∥ = c ϵh (u).

    Докажем, что справедливы оценки

                    ∥vh ∥ 6 cK σh (y),            ∥wh ∥ 6 cK σh (y).             (1.17)

Тогда ∥Ph u − Qh u∥ = ∥vh + wh ∥ 6 cK σh (y) 6 cK ϵh (u), а также
                                                            (
 ΘV (U K , UhK ) 6 max          ∥u − Q h u∥ 6    max          ∥u − Ph u∥+
                  u∈U K , ∥u∥=1               u∈U K , ∥u∥=1
                                                   )
                                   + ∥Ph u − Qh u∥ 6 cK max             ϵh (u),
                                                                 K u∈U , ∥u∥=1

то есть утверждение теоремы будет доказано.
    Получим сначала первую оценку в (1.17). Пусть ρK характеризует
отделенность собственного числа µK , т. е.

                           ρK := max |µk − µi |−1 .
                                   µi : µi ̸=µk

Поскольку µhk → µk при h → 0, то для достаточно малых h имеем

    µk − µhk+rK > c (µk − µk+rK ),           µhk−1 − µk > c (µk−1 − µk )         (1.18)

с некоторой постоянной c ∈ (0, 1). Так как система {yi } является ah -
ортогональной, то из определения vh и (1.9) вытекает, что
               ah (y, vh ) = ah (vh , vh ), bh (y, vh ) = bh (vh , vh ),
                                                                                 (1.19)
                          bh (vh , vh ) 6 µhk+rK ah (vh , vh ).

Поэтому из (1.19), (1.18) и (H2 ) имеем:

  − bh (y, vh ) + µK ah (y, vh ) = −bh (vh , vh ) + µk ah (vh , vh ) >
  > (µk − µhk+rK )ah (vh , vh ) > c ma (µk − µk+rK )∥vh ∥2 > c ma ρ−1
                                                                   K ∥vh ∥ .
                                                                          2


Отсюда следует первая оценка в (1.17).

Страницы