Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Параметрическая задача на собственные значения 19
Тогда будем иметь:
|µ
K
− µ
h
i
||a
h
(P
h
u, y
i
)| 6 c
K
max
u∈U
K
,∥u∥=1
(
ϵ
2
h
(u) + Σ
h
(P
h
u)
)
.
Из этой оценки следует утверждение теоремы, если
a
h
(P
h
u, y
i
) > c > 0. (1.20)
Докажем (1.20). Пусть ψ
h
:= a
h
(P
h
u, y
i
) − a(P
h
u, y
i
). Учтем, что
∥P
K
y
i
∥
A
6 ∥y
i
∥
A
:= 1,
|ψ
h
| 6 c E
a
(P
h
u)∥y
i
∥
A
6 c E
ab
(P
h
u) 6 c ϵ
h
(u).
Тогда
a
h
(P
h
u, y
i
) = a(P
h
u, y
i
) + ψ
h
= a(u, y
i
) + ψ
h
= a(u, P
K
y
i
) + ψ
h
=
= ∥P
K
y
i
∥
2
A
+ ψ
h
> 1 − Θ
2
V
A
(U
K
, U
K
h
) − c ϵ
h
(u) > 1 − c
K
ϵ
h
(u).
Здесь мы воспользовались свойством ортопроектора (1.10). Отсюда
следует (1.20) при достаточно малом h.
§ 3. Параметрическая задача на собственные значения
Пусть R
+
:= {x ∈ R : x > 0} и пусть задано семейство самосо-
пряженных операторов A(p) и B(p), p ∈ R
+
1)
, действующих в веще-
ственном бесконечномерном гильбертовом пространстве V с нормой
∥·∥ и скалярным произведением (·, ·). При каждом заданном p ∈ R
+
требуется найти такие λ ∈ R и ненулевые u ∈ V , что
(P) A(p)u = λB(p)u,
или, на языке симметричных билинейных форм этих операторов,
a(p, u, v) = λb(p, u, v) ∀v ∈ V.
В данном параграфе нас будут интересовать ответы на следующие
вопросы:
(i) сколько решений (λ, u) имеет задача при заданном p и как соб-
ственные числа λ зависят от p (прямая задача)?
1)
или, равносильно, самосопряженные оператор-функции p → A(p) и p → B(p) на R
+
§ 3. Параметрическая задача на собственные значения                                       19


Тогда будем иметь:
                                                           (                      )
          |µK − µhi | |ah (Ph u, yi )| 6 cK     max
                                                K
                                                               ϵ2h (u) + Σh (Ph u) .
                                              u∈U ,∥u∥=1

Из этой оценки следует утверждение теоремы, если
                                 ah (Ph u, yi ) > c > 0.                               (1.20)
Докажем (1.20). Пусть ψh := ah (Ph u, yi ) − a(Ph u, yi ). Учтем, что
                              ∥P K yi ∥A 6 ∥yi ∥A := 1,
                 |ψh | 6 c Ea (Ph u)∥yi ∥A 6 c Eab (Ph u) 6 c ϵh (u).
Тогда

 ah (Ph u, yi ) = a(Ph u, yi ) + ψh = a(u, yi ) + ψh = a(u, P K yi ) + ψh =
          = ∥P K yi ∥2A + ψh > 1 − Θ2VA (U K , UhK ) − c ϵh (u) > 1 − cK ϵh (u).
Здесь мы воспользовались свойством ортопроектора (1.10). Отсюда
следует (1.20) при достаточно малом h. 

      § 3. Параметрическая задача на собственные значения

     Пусть R+ := {x ∈ R : x > 0} и пусть задано семейство самосо-
пряженных операторов A(p) и B(p), p ∈ R+ 1) , действующих в веще-
ственном бесконечномерном гильбертовом пространстве V с нормой
∥ · ∥ и скалярным произведением (·, ·). При каждом заданном p ∈ R+
требуется найти такие λ ∈ R и ненулевые u ∈ V , что
        (P)                         A(p)u = λB(p)u,
или, на языке симметричных билинейных форм этих операторов,
                          a(p, u, v) = λb(p, u, v) ∀ v ∈ V.
В данном параграфе нас будут интересовать ответы на следующие
вопросы:
(i) сколько решений (λ, u) имеет задача при заданном p и как соб-
     ственные числа λ зависят от p (прямая задача)?
 1)
      или, равносильно, самосопряженные оператор-функции p → A(p) и p → B(p) на R+

Страницы