Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.2. Краткий обзор литературы. 15
достаточно для сходимости µ
h
k
→ µ
k
при h → 0, k = 1, 2, . . .
Оценки (1.14), (1.15) являются неулучшаемыми для метода Га-
леркина (в этом случае T
h
= T
h
), но не всегда являются таковыми
для метода Галеркина с возмущениями. Дело в том, что погрешность
возмущений в этих оценках оценивается на самом “плохом” элементе
V
h
.
Уточнениям и упрощениям доказательств отмеченных выше оце-
нок было посвящено множество работ [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11],
[12], [13], [14], [15]. Особо выделим среди них работы Дж. Осборна (J.
Osborn) и его коллег. В разработанной ими методике сначала оценива-
ется точность собственных элементов, а лишь затем — собственных
чисел. Например, в [6] были получены абстрактные оценки точно-
сти, приводящие к оптимальным оценкам спектральных аппрокси-
маций задач на собственные значения для дифференциальных или
интегральных операторов (не обязательно самосопряженных). В [12]
получены аналогичные оценки, приводящие к оптимальным оценкам,
в частности, в методе конечных элементов с численным интегрирова-
нием. Например, там получена оценка (ср. с (1.15))
Θ
V
(U
K
, U
K
h
) 6 c
K
(ϵ
h
+ ∥(T
h
− T
h
)|
U
Kh
∥), (1.16)
где (T
h
− T
h
)|
U
Kh
представляет собой сужение оператора T
h
− T
h
на U
Kh
— собственное подпространство в методе Галеркина (без
возмущений), определяемое аналогично U
K
h
. Из (1.15) следует, что
Θ
V
(U
K
, U
Kh
) 6 c
K
ϵ
h
. Этот факт может быть использован в конкрет-
ной задаче для оптимальной оценки правой части в (1.16).
Удобные для применения в разнообразных приложениях оценки
точности метода Галеркина с возмущениями для самосопряженных
положительно определенных операторов A и B в гильбертовом про-
странстве получены в [15], [16], [17]. В этих работах доказан следую-
щий аналог оценки (1.16):
Θ
V
(U
K
, U
K
h
) 6 c
K
(ϵ
h
+ max
u∈U
K
,∥u∥=1
E
ab
(P
h
u)).
Ниже мы получим обобщение этих результатов на случай неотрица-
тельно определенного оператора B.
2.2. Краткий обзор литературы.                                             15


достаточно для сходимости µhk → µk при h → 0, k = 1, 2, . . .
     Оценки (1.14), (1.15) являются неулучшаемыми для метода Га-
леркина (в этом случае Th = T h ), но не всегда являются таковыми
для метода Галеркина с возмущениями. Дело в том, что погрешность
возмущений в этих оценках оценивается на самом “плохом” элементе
Vh .
     Уточнениям и упрощениям доказательств отмеченных выше оце-
нок было посвящено множество работ [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11],
[12], [13], [14], [15]. Особо выделим среди них работы Дж. Осборна (J.
Osborn) и его коллег. В разработанной ими методике сначала оценива-
ется точность собственных элементов, а лишь затем — собственных
чисел. Например, в [6] были получены абстрактные оценки точно-
сти, приводящие к оптимальным оценкам спектральных аппрокси-
маций задач на собственные значения для дифференциальных или
интегральных операторов (не обязательно самосопряженных). В [12]
получены аналогичные оценки, приводящие к оптимальным оценкам,
в частности, в методе конечных элементов с численным интегрирова-
нием. Например, там получена оценка (ср. с (1.15))

               ΘV (U K , UhK ) 6 cK (ϵh + ∥(Th − T h )|UKh ∥),          (1.16)

где (Th − T h )|UKh представляет собой сужение оператора Th − T h
на UKh — собственное подпространство в методе Галеркина (без
возмущений), определяемое аналогично UhK . Из (1.15) следует, что
ΘV (U K , UKh ) 6 cK ϵh . Этот факт может быть использован в конкрет-
ной задаче для оптимальной оценки правой части в (1.16).
    Удобные для применения в разнообразных приложениях оценки
точности метода Галеркина с возмущениями для самосопряженных
положительно определенных операторов A и B в гильбертовом про-
странстве получены в [15], [16], [17]. В этих работах доказан следую-
щий аналог оценки (1.16):

             ΘV (U K , UhK ) 6 cK (ϵh +      max         Eab (Ph u)).
                                          u∈U K ,∥u∥=1

Ниже мы получим обобщение этих результатов на случай неотрица-
тельно определенного оператора B.

Страницы