Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.2. Краткий обзор литературы. 13
2.2. Краткий обзор литературы.
В контексте предыдущих определений введем дополнительные
обозначения. Во-первых отметим, что оператор T : V → V в (1.3)
на языке билинейных форм определяется так, что T f есть решение
уравнения
a(T f, v) = b(f, v) ∀v ∈ V
при произвольно заданном f ∈ V . Аналогично введем оператор T
h
:
T
h
: V
h
→ V
h
, a
h
(T
h
f
h
, v) = b
h
(f
h
, v) ∀v ∈ V
h
, ∀f
h
∈ V
h
.
Тогда приближенная задача (P
h
µ
) примет вид:
T
h
y = µ
h
y. (1.11)
Введем также оператор T
h
: V
h
→ V
h
так, что
a(T
h
f
h
, v) = b(f
h
, v) ∀v ∈ V
h
при любом f
h
∈ V
h
. Легко видеть, что T
h
= P
h
T , где P
h
— ортопро-
ектор в V
A
на V
h
.
Дискретная задача: найти (µ
h
, y) ∈ R × V
h
\ {0} такие, что
T
h
y = µ
h
y, (1.12)
определяет метод Галеркина для задачи (1.3).
Изучению сходимости и оценкам скорости сходимости метода Га-
леркина и метода Галеркина с возмущениями посвящено множество
работ. В первую очередь, отметим здесь результаты, представленные
в монографиях [4], [1], относящиеся к 60-м годам прошлого века (см.
также цитированную там литературу). В них изучается близость ре-
шений задач (1.11), (1.12) к решениям (1.3) в общей ситуации, когда
оператор T — произвольный компактный оператор, действующий в
банаховом пространстве.
Например, в [4, c. 257-261] доказано, что условий
∥T − P
h
T ∥ → 0, ∥T
h
− T
h
∥ → 0 при h → 0, (1.13)
достаточно для сходимости µ
h
k
→ µ
k
при h → 0, k = 1, 2, . . .
1)
Кроме
того, при достаточно малых h получены оценки, которые в наших
1)
Из условий (1.13) следует, что ∥T −T
h
∥ → 0 при h → 0. Поэтому N
b
h
:= dim V
h
−dim(ker B
h
) =
dim(Im T
h
) → ∞ при h → 0, так как dim(Im T ) = ∞.
2.2. Краткий обзор литературы.                                                              13


2.2. Краткий обзор литературы.

   В контексте предыдущих определений введем дополнительные
обозначения. Во-первых отметим, что оператор T : V → V в (1.3)
на языке билинейных форм определяется так, что T f есть решение
уравнения
                    a(T f, v) = b(f, v) ∀ v ∈ V
при произвольно заданном f ∈ V . Аналогично введем оператор Th :
       Th : Vh → Vh ,        ah (Th fh , v) = bh (fh , v) ∀ v ∈ Vh , ∀ fh ∈ Vh .
Тогда приближенная задача (Pµh ) примет вид:
                                        Th y = µh y.                                   (1.11)
Введем также оператор T h : Vh → Vh так, что
                           a(T h fh , v) = b(fh , v) ∀ v ∈ Vh
при любом fh ∈ Vh . Легко видеть, что T h = Ph T , где Ph — ортопро-
ектор в VA на Vh .
   Дискретная задача: найти (µh , y) ∈ R × Vh \ {0} такие, что
                                       T h y = µh y,                                   (1.12)
определяет метод Галеркина для задачи (1.3).
   Изучению сходимости и оценкам скорости сходимости метода Га-
леркина и метода Галеркина с возмущениями посвящено множество
работ. В первую очередь, отметим здесь результаты, представленные
в монографиях [4], [1], относящиеся к 60-м годам прошлого века (см.
также цитированную там литературу). В них изучается близость ре-
шений задач (1.11), (1.12) к решениям (1.3) в общей ситуации, когда
оператор T — произвольный компактный оператор, действующий в
банаховом пространстве.
   Например, в [4, c. 257-261] доказано, что условий
                ∥T − Ph T ∥ → 0,         ∥Th − T h ∥ → 0 при h → 0,                    (1.13)
достаточно для сходимости µhk → µk при h → 0, k = 1, 2, . . .1) Кроме
того, при достаточно малых h получены оценки, которые в наших
   Из условий (1.13) следует, что ∥T −Th ∥ → 0 при h → 0. Поэтому Nhb := dim Vh −dim(ker Bh ) =
  1)

dim(Im Th ) → ∞ при h → 0, так как dim(Im T ) = ∞.

Страницы