Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

12 Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями
называется ортопроектором в H на U, если P u есть такой элемент U,
что
∥u − P u∥
H
:= inf
v∈U
∥u − v∥
H
, u ∈ H,
или, эквивалентно,
(u − P u, v)
H
= 0 ∀v ∈ U, u ∈ H.
Ясно, что P является линейным оператором и ∥P u∥
H
6 ∥u∥
H
.
Пусть теперь U и U
h
— конечномерные подпространства H оди-
наковой размерности. Раствор между ними определяется следующим
образом (см., напр., [4, с. 195]):
Θ
H
(U, U
h
) := max
u∈U,∥u∥
H
=1
∥u − P
h
u∥
H
:= max
y∈U
h
,∥y∥
H
=1
∥y − P y∥
H
,
где P и P
h
— ортопроекторы в H на U и U
h
соответственно.
Имеют место равенства
min
u∈U,∥u∥
H
=1
∥P
h
u∥
2
H
= min
y∈U
h
,∥y∥
H
=1
∥P y∥
2
H
= 1 − Θ
2
H
(U, U
h
). (1.10)
Отметим, что из оценки Θ
V
(U
K
, U
K
h
) 6 ε следует, что для любого
y ∈ U
K
h
, ∥y∥ = 1, найдется такой элемент u ∈ U
K
, что ∥y − u∥ 6 ε.
Ясно также, что
c
−1
Θ
V
(U
K
, U
K
h
) 6 Θ
V
A
(U
K
, U
K
h
) 6 c Θ
V
(U
K
, U
K
h
)
при c = (M
A
/m
A
)
1/2
. Для заданных форм d и d
h
положим
E
d
(φ
h
) := sup
v
h
∈V
h
,∥v
h
∥=1
|d(φ
h
, v
h
) − d
h
(φ
h
, v
h
)|, φ
h
∈ V
h
.
Следующие величины характеризуют максимально возможные воз-
мущения форм a и b соответственно:
sup
v∈V
h
, ∥v∥=1
E
a
(v), sup
v∈V
h
, ∥v∥=1
E
b
(v).
Далее нам понадобится также функционал
E
ab
(v) := E
a
(v) + E
b
(v), v ∈ V
h
.
12                                           Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями


называется ортопроектором в H на U , если P u есть такой элемент U ,
что
               ∥u − P u∥H := inf ∥u − v∥H , u ∈ H,
                                           v∈U
или, эквивалентно,

                      (u − P u, v)H = 0 ∀ v ∈ U,                 u ∈ H.

Ясно, что P является линейным оператором и ∥P u∥H 6 ∥u∥H .
   Пусть теперь U и Uh — конечномерные подпространства H оди-
наковой размерности. Раствор между ними определяется следующим
образом (см., напр., [4, с. 195]):

     ΘH (U, Uh ) :=       max         ∥u − Ph u∥H :=             max       ∥y − P y∥H ,
                       u∈U,∥u∥H =1                         y∈Uh ,∥y∥H =1

где P и Ph — ортопроекторы в H на U и Uh соответственно.
    Имеют место равенства

        min        ∥Ph u∥2H =         min        ∥P y∥2H = 1 − Θ2H (U, Uh ).         (1.10)
     u∈U,∥u∥H =1                y∈Uh ,∥y∥H =1

Отметим, что из оценки ΘV (U K , UhK ) 6 ε следует, что для любого
y ∈ UhK , ∥y∥ = 1, найдется такой элемент u ∈ U K , что ∥y − u∥ 6 ε.
Ясно также, что

           c−1 ΘV (U K , UhK ) 6 ΘVA (U K , UhK ) 6 c ΘV (U K , UhK )

при c = (MA /mA )1/2 . Для заданных форм d и dh положим

         Ed (φh ) :=       sup           |d(φh , vh ) − dh (φh , vh )|, φh ∈ Vh .
                       vh ∈Vh ,∥vh ∥=1

Следующие величины характеризуют максимально возможные воз-
мущения форм a и b соответственно:

                          sup         Ea (v),        sup         Eb (v).
                       v∈Vh , ∥v∥=1               v∈Vh , ∥v∥=1

Далее нам понадобится также функционал

                       Eab (v) := Ea (v) + Eb (v),           v ∈ Vh .

Страницы