Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10 Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями
Отметим, что a(v
0
, u
i
) = λ
i
b(v
0
, u
i
) = 0 для всех i > 1. Кроме того,
a(v, v) = c
2
0
+
∞
∑
i=1
c
2
i
, b(v, v) =
∞
∑
i=1
µ
i
c
2
i
, c
2
0
= a(v
0
, v
0
).
§ 2. Метод Галеркина с возмущениями
2.1. Определение метода.
Пусть h > 0 — малый параметр, {V
h
}
h
— предельно плотная
последовательность конечномерных подпространств V , т. е.
(H
1
) V
h
⊆ V ; ∀u ∈ V : inf
v
h
∈V
h
∥u − v
h
∥ → 0 при h → 0.
1)
Введем симметричные билинейные формы a
h
и b
h
, являющиеся воз-
мущениями (аппроксимациями) форм a и b на V
h
×V
h
. Будем считать,
что для любого v ∈ V
h
справедливы оценки
(H
2
) m
a
∥v∥
2
6 a
h
(v, v) 6 M
a
∥v∥
2
, 0 6 b
h
(v, v) 6 M
b
∥v∥
2
,
где постоянные m
a
, M
a
и M
b
не зависят от h, m
a
> 0.
Рассмотрим аппроксимацию задачи (P
µ
) методом Галеркина с
возмущениями: найти (µ
h
, y) ∈ R × V
h
\ {0} такие, что
(P
h
µ
) b
h
(y, v) = µ
h
a
h
(y, v) ∀v ∈ V
h
.
Пусть h фиксировано, N
h
есть размерность пространства V
h
, a
элементы φ
1
, φ
2
, . . ., φ
N
h
определяют в нем базис. Тогда задача (P
h
µ
)
сводится к алгебраической задаче на собственные значения
B
h
x = µ
h
A
h
x, 0 ̸= x ∈ R
N
h
. (1.7)
Здесь x есть вектор коэффициентов разложения y по указанному ба-
зису, а симметричные матрицы A
h
и B
h
имеют следующие элементы:
a
ij
:= a
h
(φ
i
, φ
j
), b
ij
:= b
h
(φ
i
, φ
j
), i, j = 1, 2, . . . , N
h
.
1)
в теории аппроксимации, как правило, вместо малого параметра h используется “большой”
параметр n, указывающий на размерность подпространства. Параметр h общепринят в тео-
рии МКЭ и обозначает максимальный размер конечных элементов. Использование h вместо n
существенно облегчит нам дальнейшие ссылки.
10                                             Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями


Отметим, что a(v0 , ui ) = λi b(v0 , ui ) = 0 для всех i > 1. Кроме того,
                              ∞
                              ∑                            ∞
                                                           ∑
        a(v, v) =   c20   +         c2i ,   b(v, v) =            µi c2i ,   c20 = a(v0 , v0 ).
                              i=1                          i=1


               § 2. Метод Галеркина с возмущениями

2.1. Определение метода.

   Пусть h > 0 — малый параметр, {Vh }h — предельно плотная
последовательность конечномерных подпространств V , т. е.
(H1 )            Vh ⊆ V ; ∀ u ∈ V : inf ∥u − vh ∥ → 0 при h → 0. 1)
                                                  vh ∈Vh

Введем симметричные билинейные формы ah и bh , являющиеся воз-
мущениями (аппроксимациями) форм a и b на Vh ×Vh . Будем считать,
что для любого v ∈ Vh справедливы оценки
(H2 )       ma ∥v∥2 6 ah (v, v) 6 Ma ∥v∥2 ,                  0 6 bh (v, v) 6 Mb ∥v∥2 ,
где постоянные ma , Ma и Mb не зависят от h, ma > 0.
    Рассмотрим аппроксимацию задачи (Pµ ) методом Галеркина с
возмущениями: найти (µh , y) ∈ R × Vh \ {0} такие, что

                    (Pµh )          bh (y, v) = µh ah (y, v) ∀ v ∈ Vh .

    Пусть h фиксировано, Nh есть размерность пространства Vh , a
элементы φ1 , φ2 , . . ., φNh определяют в нем базис. Тогда задача (Pµh )
сводится к алгебраической задаче на собственные значения

                          Bh x = µh Ah x,            0 ̸= x ∈ RNh .                              (1.7)

Здесь x есть вектор коэффициентов разложения y по указанному ба-
зису, а симметричные матрицы Ah и Bh имеют следующие элементы:

         aij := ah (φi , φj ),          bij := bh (φi , φj ), i, j = 1, 2, . . . , Nh .
  1)
   в теории аппроксимации, как правило, вместо малого параметра h используется “большой”
параметр n, указывающий на размерность подпространства. Параметр h общепринят в тео-
рии МКЭ и обозначает максимальный размер конечных элементов. Использование h вместо n
существенно облегчит нам дальнейшие ссылки.

Страницы