Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Обобщенная задача на собственные значения 9
Пусть µ
K
:= 1/λ
K
. Тогда (µ
K
, U
K
), K > 1, — решения задачи (P
µ
).
Введем другую нумерацию собственных чисел λ
K
, K = 1, 2, . . .
(нумерацию по возрастанию с учетом кратности). А именно, прону-
меруем их по возрастанию,
0 < λ
1
6 λ
2
6 λ
3
6 . . . ,
указывая каждое число λ
K
в этом ряду столько раз, какова его крат-
ность. Известно следующее вариационное описание этих чисел (ми-
нимаксный принцип Куранта — Фишера):
1
λ
i
= µ
i
= max
V
i
⊂V
min
v∈V
i
\{0}
R(v), i = 1, 2, . . . , R(v) :=
b(v, v)
a(v, v)
.
Здесь максимум берется по всем подпространствам V размерности i;
функционал R называется отношением Рэлея.
Далее будем считать, что r
K
есть кратность λ
K
, а k означает
такой номер, соответствующий K, что
λ
K
= λ
k
, λ
k−1
< λ
k
= λ
k+1
= . . . = λ
k+r
K
−1
< λ
k+r
K
. (1.4)
Соответственно, полагая µ
i
= 1/λ
i
, i = 1, 2, . . ., имеем
1)
:
0 < . . . 6 µ
3
6 µ
2
6 µ
1
,
µ
K
= µ
k
, µ
k+r
K
< µ
k+r
K
−1
= . . . = µ
k+1
= µ
k
< µ
k−1
. (1.5)
В каждом пространстве U
K
фиксируем некоторый ортонормирован-
ный в V
A
базис так, что (span означает линейную оболочку)
U
K
= span{u
k
, u
k+1
, . . . , u
k+r
K
−1
}. (1.6)
Тогда последовательности λ
i
(или µ
i
), i = 1, 2, . . ., будет поставлена в
соответствие ортонормированная в V
A
последовательность собствен-
ных элементов, образующих базис в V
A
⊖ ker B:
u
1
, u
2
, u
3
, . . . , a(u
i
, u
j
) = δ
ij
, b(u
i
, u
j
) = µ
i
δ
ij
, i, j = 1, 2, . . .
Произвольный элемент v ∈ V представим в виде
v = v
0
+
∞
∑
i=1
c
i
u
i
, v
0
∈ ker B, c
i
= a(v, u
i
).
2)
⊕ означает прямую сумму пространств. Если V = U ⊕ W , то U = V ⊖ W = W
⊥
есть
ортогональное дополнение W .
1)
в (1.5) нужно опустить правое неравенство при k = 1, как и левое — в (1.4).
§ 1. Обобщенная задача на собственные значения                                                        9


Пусть µK := 1/λK . Тогда (µK , U K ), K > 1, — решения задачи (Pµ ).
   Введем другую нумерацию собственных чисел λK , K = 1, 2, . . .
(нумерацию по возрастанию с учетом кратности). А именно, прону-
меруем их по возрастанию,
                                        0 < λ1 6 λ 2 6 λ 3 6 . . . ,
указывая каждое число λK в этом ряду столько раз, какова его крат-
ность. Известно следующее вариационное описание этих чисел (ми-
нимаксный принцип Куранта — Фишера):
          1                                                 b(v, v)
             = µi = max min R(v), i = 1, 2, . . . , R(v) :=         .
          λi        Vi ⊂V v∈Vi \{0}                         a(v, v)
Здесь максимум берется по всем подпространствам V размерности i;
функционал R называется отношением Рэлея.
   Далее будем считать, что rK есть кратность λK , а k означает
такой номер, соответствующий K, что
         λK = λk ,               λk−1 < λk = λk+1 = . . . = λk+rK −1 < λk+rK .                   (1.4)
Соответственно, полагая µi = 1/λi , i = 1, 2, . . ., имеем 1) :
                                        0 < . . . 6 µ3 6 µ2 6 µ 1 ,
         µ K = µk ,          µk+rK < µk+rK −1 = . . . = µk+1 = µk < µk−1 .                       (1.5)
В каждом пространстве U K фиксируем некоторый ортонормирован-
ный в VA базис так, что (span означает линейную оболочку)
                                  U K = span{uk , uk+1 , . . . , uk+rK −1 }.                     (1.6)
Тогда последовательности λi (или µi ), i = 1, 2, . . ., будет поставлена в
соответствие ортонормированная в VA последовательность собствен-
ных элементов, образующих базис в VA ⊖ ker B:
      u 1 , u 2 , u3 , . . . ,     a(ui , uj ) = δij ,    b(ui , uj ) = µi δij , i, j = 1, 2, . . .
Произвольный элемент v ∈ V представим в виде
                                      ∞
                                      ∑
                      v = v0 +              ci ui ,   v0 ∈ ker B,     ci = a(v, ui ).
                                      i=1
 2)
     ⊕ означает прямую сумму пространств. Если V = U ⊕ W , то U = V ⊖ W = W ⊥ есть
ортогональное дополнение W .
  1)
     в (1.5) нужно опустить правое неравенство при k = 1, как и левое — в (1.4).

Страницы