Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 7 стр.

                                      Глава 1
 МЕТОД ГАЛЕРКИНА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ
ДЛЯ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ


   В данной главе рассматриваются обобщенные задачи на собствен-
ные значения в гильбертовом пространстве и изучается метод Галер-
кина с возмущениями для их приближенного решения.

        § 1. Обобщенная задача на собственные значения

   Пусть V — бесконечномерное вещественное гильбертово про-
странство с нормой ∥ · ∥ и скалярным произведением (·, ·); A, B —
самосопряженные операторы в V . Рассмотрим задачу на собственные
значения: найти такие λ ∈ R и ненулевые u ∈ V , что

                                     Au = λBu,                                     (1.1)

или, на языке симметричных билинейных форм этих операторов,
       (Pλ )                 a(u, v) = λb(u, v) ∀ v ∈ V .
   Дополнительно будем предполагать, что оператор B является
компактным, размерность образа B равна бесконечности1) ,

 mA ∥u∥2 6 a(u, u) 6 MA ∥u∥2 ,           0 6 b(u, u) 6 MB ∥u∥2 ,         u ∈ V. (1.2)

Кратко условия (1.2) будем записывать в виде2) :

                      mA I 6 A 6 MA I,          0 6 B 6 MB I.

Отметим, что из условий на формы a и b следует, что

       |a(u, v)| 6 MA ∥u∥ ∥v∥,         |b(u, v)| 6 MB ∥u∥ ∥v∥,        u, v ∈ V.
   образ B := ImB := {f ∈ V : f = Bu, u ∈ V }.
  1)
  2)
   I обозначает тождественный оператор в V . Оценки снизу в (1.2) означают, что A — поло-
жительно определенный оператор, а B — неотрицательный.