Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

8 Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями
Пара (λ, u), u ̸= 0, удовлетворяющая (P
λ
), называется собствен-
ной парой; λ — собственным числом; u — собственным элементом, со-
ответствующим λ. Собственные элементы определяются неоднознач-
но: легко видеть, что, если u — собственный элемент, то cu, c ∈ R,
также есть собственный элемент; если u
1
, u
2
, . . . — собственные эле-
менты, соответствующие λ, то их произвольная линейная комбинация
c
1
u
1
+c
2
u
2
+. . . также есть собственный элемент, соответствующий λ.
В связи с этим определяется пространство U(λ) := ker(A − λB) как
множество всех собственных элементов, соответствующих собствен-
ному числу λ. Оно называется собственным подпространством, соот-
ветствующим λ, а его размерность (dim U(λ)) — кратностью числа
λ
3)
. Учитывая сказанное, в дальнейшем задачи типа (1.1), как это
принято, будем понимать как задачу нахождения пар (λ, U(λ)).
Нетрудно видеть, что элементы из ker B не могут быть собствен-
ными элементами, а собственные числа λ являются положительными.
Ясно также, что задача на собственные значения Bu = µAu или
(P
µ
) b(u, v) = µa(u, v) ∀v ∈ V, u ̸= 0,
имеет собственное число µ = 0, которому соответствует собственное
подпространство ker B, причем, пара (µ, u), µ > 0, является собствен-
ной парой задачи (P
µ
) тогда и только тогда, когда (λ, u) — собствен-
ная пара (P
λ
) и λ = 1/µ.
Задача (P
µ
) равносильна задаче на собственные значения
T u = µu, T := A
−1
B. (1.3)
Оператор T , как произведение ограниченного и компактного опера-
торов, является компактным. Кроме того, он является самосопряжен-
ным в гильбертовом пространстве V
A
.
1)
Из теории компактных опе-
раторов непосредственно следует (см., напр., [3, c. 245])
Теорема 1.1. Существует счетное множество положитель-
ных чисел λ
K
, K = 1, 2, . . ., с единственной точкой накопления +∞,
образующих полный набор собственных чисел задачи (P
λ
). Cоответ-
ствующие им собственные подпространства U
K
, K > 1, — конеч-
номерны, V
A
=
∞
⊕
K=1
U
K
⊕ ker B.
2)
3)
ker A := ker a := {u ∈ V : a(u, u) = 0}.
1)
Элементами V
A
являются элементы V , форма a определяет скалярное произведение в нем.
В силу (1.2) норма ∥ ·∥
A
:= a
1/2
(·, ·) в V
A
эквивалентна норме V .
8                                       Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями


      Пара (λ, u), u ̸= 0, удовлетворяющая (Pλ ), называется собствен-
ной парой; λ — собственным числом; u — собственным элементом, со-
ответствующим λ. Собственные элементы определяются неоднознач-
но: легко видеть, что, если u — собственный элемент, то cu, c ∈ R,
также есть собственный элемент; если u1 , u2 , . . . — собственные эле-
менты, соответствующие λ, то их произвольная линейная комбинация
c1 u1 + c2 u2 + . . . также есть собственный элемент, соответствующий λ.
В связи с этим определяется пространство U (λ) := ker(A − λB) как
множество всех собственных элементов, соответствующих собствен-
ному числу λ. Оно называется собственным подпространством, соот-
ветствующим λ, а его размерность (dim U (λ)) — кратностью числа
λ 3) . Учитывая сказанное, в дальнейшем задачи типа (1.1), как это
принято, будем понимать как задачу нахождения пар (λ, U (λ)).
      Нетрудно видеть, что элементы из ker B не могут быть собствен-
ными элементами, а собственные числа λ являются положительными.
Ясно также, что задача на собственные значения Bu = µAu или
         (Pµ )               b(u, v) = µa(u, v) ∀ v ∈ V, u ̸= 0,
имеет собственное число µ = 0, которому соответствует собственное
подпространство ker B, причем, пара (µ, u), µ > 0, является собствен-
ной парой задачи (Pµ ) тогда и только тогда, когда (λ, u) — собствен-
ная пара (Pλ ) и λ = 1/µ.
   Задача (Pµ ) равносильна задаче на собственные значения
                             T u = µu,      T := A−1 B.                           (1.3)
Оператор T , как произведение ограниченного и компактного опера-
торов, является компактным. Кроме того, он является самосопряжен-
ным в гильбертовом пространстве VA .1) Из теории компактных опе-
раторов непосредственно следует (см., напр., [3, c. 245])
    Теорема 1.1. Существует счетное множество положитель-
ных чисел λK , K = 1, 2, . . ., с единственной точкой накопления +∞,
образующих полный набор собственных чисел задачи (Pλ ). Cоответ-
ствующие им собственные подпространства U K , K > 1, — конеч-
                 ⊕
                 ∞
номерны, VA =       U K ⊕ ker B.2)
                     K=1
    ker A := ker a := {u ∈ V : a(u, u) = 0}.
    3)
    1)
    Элементами VA являются элементы V , форма a определяет скалярное произведение в нем.
В силу (1.2) норма ∥ · ∥A := a1/2 (·, ·) в VA эквивалентна норме V .

Страницы