Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.1. Определение метода. 11
Из условий (H
2
) следует, что A
h
является положительно определен-
ной матрицей, а B
h
— неотрицательно определенной. Ясно, что за-
дача (1.7) имеет нулевое собственное число кратности dim (ker B
h
) и,
скажем, n
h
положительных собственных чисел µ
hK
, суммарной крат-
ности равной N
b
h
:= N
h
− dim (ker B
h
), n
h
6 N
b
h
.
2)
Как и в исходной
задаче (P
µ
), занумеруем положительные собственные числа в убыва-
ющем порядке с учетом кратности:
0 < µ
h
N
b
h
6 . . . 6 µ
h
2
6 µ
h
1
.
Поставим им в соответствие собственные элементы
y
N
b
h
, . . . , y
2
, y
1
, a
h
(y
i
, y
j
) = δ
ij
, i, j = 1, 2, . . . , N
b
h
.
Тогда любой элемент v
h
∈ V
h
представим в виде
v
h
= y
0
+
N
b
h
∑
i=1
c
i
y
i
, y
0
∈ ker B
h
, c
i
= a
h
(v
h
, y
i
). (1.8)
Отметим, что a
h
(y
0
, y
i
) = 0, 1 6 i 6 N
b
h
. Кроме того,
a
h
(v
h
, v
h
) = c
2
0
+
N
b
h
∑
i=1
c
2
i
, b
h
(v
h
, v
h
) =
N
b
h
∑
i=1
µ
h
i
c
2
i
, c
2
0
= a
h
(y
0
, y
0
). (1.9)
Аппроксимацию собственного подпространства U
K
, K > 1, за-
дачи (P
µ
), соответствующего собственному числу µ
K
кратности r
K
,
определим следующим образом (см. (1.6)):
U
K
h
:= span(y
k
, y
k+1
, . . . , y
k+r
K
−1
),
а числа µ
h
k+r
K
−1
, . . . , µ
h
k+1
, µ
h
k
будем рассматривать как приближе-
ния собственного числа µ
K
. Здесь k связано с K согласно (1.5).
Прежде чем перейти к рассмотрению вопросов, касающихся схо-
димости и точности описанных приближений, определим способ из-
мерения близости собственных подпространств U
K
и U
K
h
посредством
величины, называемой раствором. Дадим его определение.
Пусть H — гильбертово пространство с нормой ∥ · ∥
H
и скаляр-
ным произведением (·, ·)
H
, U — его подпространство. Оператор P
2)
Далее мы наложим дополнительные ограничения на формы a
h
и b
h
(см. условие (H
3
)). В
этом случае N
b
h
→ ∞ при h → 0.
2.1. Определение метода.                                                                           11


Из условий (H2 ) следует, что Ah является положительно определен-
ной матрицей, а Bh — неотрицательно определенной. Ясно, что за-
дача (1.7) имеет нулевое собственное число кратности dim (ker Bh ) и,
скажем, nh положительных собственных чисел µhK , суммарной крат-
ности равной Nhb := Nh − dim (ker Bh ), nh 6 Nhb .2) Как и в исходной
задаче (Pµ ), занумеруем положительные собственные числа в убыва-
ющем порядке с учетом кратности:
                                0 < µhN b 6 . . . 6 µh2 6 µh1 .
                                               h

Поставим им в соответствие собственные элементы
          yNhb , . . . , y2 , y1 ,       ah (yi , yj ) = δij , i, j = 1, 2, . . . , Nhb .
Тогда любой элемент vh ∈ Vh представим в виде
                                b
                            ∑
                            Nh
             vh = y 0 +             ci y i ,       y0 ∈ ker Bh ,     ci = ah (vh , yi ).        (1.8)
                            i=1

Отметим, что ah (y0 , yi ) = 0, 1 6 i 6 Nhb . Кроме того,
                            b                                 b
                          ∑
                          Nh
                                                           ∑
                                                           Nh
  ah (vh , vh ) = c20 +         c2i , bh (vh , vh ) =             µhi c2i , c20 = ah (y0 , y0 ). (1.9)
                          i=1                               i=1

   Аппроксимацию собственного подпространства U K , K > 1, за-
дачи (Pµ ), соответствующего собственному числу µK кратности rK ,
определим следующим образом (см. (1.6)):
                        UhK := span(yk , yk+1 , . . . , yk+rK −1 ),
а числа µhk+rK −1 , . . . , µhk+1 , µhk будем рассматривать как приближе-
ния собственного числа µK . Здесь k связано с K согласно (1.5).
    Прежде чем перейти к рассмотрению вопросов, касающихся схо-
димости и точности описанных приближений, определим способ из-
мерения близости собственных подпространств U K и UhK посредством
величины, называемой раствором. Дадим его определение.
    Пусть H — гильбертово пространство с нормой ∥ · ∥H и скаляр-
ным произведением (·, ·)H , U — его подпространство. Оператор P
  2)
    Далее мы наложим дополнительные ограничения на формы ah и bh (см. условие (H3 )). В
этом случае Nhb → ∞ при h → 0.

Страницы