Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

14 Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями
обозначениях имеют вид
2)
:
|µ
k
− µ
h
k
| 6 c
k
(ϵ
2
h
+ ∥T
h
− T
h
∥), k = 1, 2, . . . , (1.14)
Θ
V
(U
K
, U
K
h
) 6 c
K
(ϵ
h
+ ∥T
h
− T
h
∥), K = 1, 2, . . . (1.15)
Здесь величина
ϵ
h
:= max
u∈U
K
, ∥u∥=1
∥u − P
h
u∥
характеризует погрешность приближения собственных элементов
элементами из V
h
. Оценка величины ϵ
h
является стандартной зада-
чей в теории проекционных методов (в частности, в теории метода
конечных элементов). Отметим, что оценка (1.14) используется при
доказательстве (1.15).
Обсудим условия (1.13). Из эквивалентности норм в V
A
и в V
следует, что проектор P
h
ограничен в V и для любого u ∈ V
∥(I −P
h
)u∥ = ∥u − P
h
u∥ 6 c inf
v
h
∈V
h
∥u − v
h
∥ → 0 при h → 0
в силу условия (H
1
). Поэтому ∥T − P
h
T ∥ = ∥(I − P
h
)T ∥ → 0 при
h → 0 (см., напр., [4, Лемма 15.4, с. 202]). Таким образом, первое
условие в (1.13) выполняется, если справедливо предположение (H
1
).
Малость величины ∥T
h
− T
h
∥ зависит от малости возмущения
форм a и b. Действительно, поскольку для любых f, v ∈ V
h
имеет
место представление
a
h
(T
h
f −T
h
f, v) = [a(T
h
f, v)−a
h
(T
h
f, v)]+[a
h
(T
h
f, v)−a(T
h
f, v)] =
= [b(f, v) − b
h
(f, v)] + [a
h
(T
h
f, v) − a(T
h
f, v)],
а T
h
= P
h
T , то |a
h
(T
h
f −T
h
f, v)| 6 (E
b
(f)+E
a
(P
h
T f))∥v∥. Полагая
здесь v = T
h
f − T
h
f и учитывая условия (H
2
), получим
∥T
h
− T
h
∥ 6 c sup
f∈V
h
, ∥f∥=1
(E
b
(f) + E
a
(P
h
T f)).
Таким образом, условий (H
1
), (H
2
) и условия
(H
3
) sup
f∈V
h
, ∥f∥=1
(E
b
(f) + E
a
(P
h
T f)) → 0 при h → 0
2)
здесь и далее буквой c, возможно с индексом, обозначаются различные положительные
постоянные, не зависящие от h.
14                                          Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями


обозначениях имеют вид2) :

               |µk − µhk | 6 ck (ϵ2h + ∥Th − T h ∥), k = 1, 2, . . . ,          (1.14)
         ΘV (U K , UhK ) 6 cK (ϵh + ∥Th − T h ∥), K = 1, 2, . . .               (1.15)

Здесь величина
                             ϵh :=       max          ∥u − Ph u∥
                                     u∈U K , ∥u∥=1

характеризует погрешность приближения собственных элементов
элементами из Vh . Оценка величины ϵh является стандартной зада-
чей в теории проекционных методов (в частности, в теории метода
конечных элементов). Отметим, что оценка (1.14) используется при
доказательстве (1.15).
   Обсудим условия (1.13). Из эквивалентности норм в VA и в V
следует, что проектор Ph ограничен в V и для любого u ∈ V

       ∥(I − Ph )u∥ = ∥u − Ph u∥ 6 c inf ∥u − vh ∥ → 0 при h → 0
                                               vh ∈Vh

в силу условия (H1 ). Поэтому ∥T − Ph T ∥ = ∥(I − Ph )T ∥ → 0 при
h → 0 (см., напр., [4, Лемма 15.4, с. 202]). Таким образом, первое
условие в (1.13) выполняется, если справедливо предположение (H1 ).
    Малость величины ∥Th − T h ∥ зависит от малости возмущения
форм a и b. Действительно, поскольку для любых f, v ∈ Vh имеет
место представление

 ah (T h f −Th f, v) = [a(T h f, v)−ah (Th f, v)]+[ah (T h f, v)−a(T h f, v)] =
                             = [b(f, v) − bh (f, v)] + [ah (T h f, v) − a(T h f, v)],

а T h = Ph T , то |ah (T h f −Th f, v)| 6 (Eb (f )+Ea (Ph T f ))∥v∥. Полагая
здесь v = T h f − Th f и учитывая условия (H2 ), получим

                ∥T h − Th ∥ 6 c          sup      (Eb (f ) + Ea (Ph T f )).
                                     f ∈Vh , ∥f ∥=1

Таким образом, условий (H1 ), (H2 ) и условия
(H3 )           sup      (Eb (f ) + Ea (Ph T f )) → 0 при h → 0
            f ∈Vh , ∥f ∥=1
  2)
    здесь и далее буквой c, возможно с индексом, обозначаются различные положительные
постоянные, не зависящие от h.

Страницы