Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

16 Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями
2.3. Оценки точности.
Исследуем близость решений задач (P
µ
) и (P
h
µ
). Пусть (µ
K
, U
K
)
— решение задачи (P
µ
), r
K
— кратность µ
K
, K > 1. Пусть далее
µ
h
k+r
K
−1
, . . . , µ
h
k+1
, µ
h
k
и U
K
h
— их аппроксимации, определенные выше
в п. 2.1. Положим
ϵ
h
(u) := inf
v
h
∈V
h
∥u −v
h
∥ + E
ab
(P
h
u), u ∈ V,
Σ
h
(y) := |a(y, y) − a
h
(y, y)|+ |b(y, y) − b
h
(y, y)|, y ∈ V
h
,
через P
h
обозначим ортопроектор в V
A
на V
h
. По определению
a(u − P
h
u, v) = 0 ∀v ∈ V
h
, u ∈ V.
Из условия (1.2) следует, что
∥u − P
h
u∥ 6 c inf
v∈V
h
∥u − v∥ 6 c ϵ
h
(u), c = (M
A
/m
A
)
1/2
.
Будем предполагать, что выполнены условия (H
1
) – (H
3
). Как было
показано выше, эти условия обеспечивают сходимость приближенных
собственных чисел: µ
h
k
→ µ
k
при h → 0, k = 1, 2, . . .
Теорема 1.2. Пусть выполнены условия (H
1
)–(H
3
). Тогда при
достаточно малом h справедлива оценка
Θ
V
(U
K
, U
K
h
) 6 c
K
max
u∈U
K
, ∥u∥=1
ϵ
h
(u).
Здесь постоянная c
K
зависит от µ
K
, но не зависит от h, K > 1.
Доказательство. Пусть u ∈ U
K
— собственный элемент. По-
ложим y := P
h
u и разложим y по системе {y
i
} (см. (1.8)). Имеем
y = y
0
+
N
b
h
∑
i=1
c
i
y
i
=: v
h
+ Q
h
u + w
h
,
v
h
:= y
0
+
N
b
h
∑
i=k+r
K
c
i
y
i
, Q
h
u :=
k+r
K
−1
∑
i=k
c
i
y
i
∈ U
K
h
, w
h
:=
k−1
∑
i=1
c
i
y
i
.
Рассмотрим величину
σ
h
(y) := sup
η
h
∈V
h
,∥η
h
∥=1
|b
h
(y, η
h
) − µ
k
a
h
(y, η
h
)|.
16                                          Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями


2.3. Оценки точности.

    Исследуем близость решений задач (Pµ ) и (Pµh ). Пусть (µK , U K )
— решение задачи (Pµ ), rK — кратность µK , K > 1. Пусть далее
µhk+rK −1 , . . . , µhk+1 , µhk и UhK — их аппроксимации, определенные выше
в п. 2.1. Положим
                  ϵh (u) := inf ∥u − vh ∥ + Eab (Ph u), u ∈ V,
                             vh ∈Vh
        Σh (y) := |a(y, y) − ah (y, y)| + |b(y, y) − bh (y, y)|, y ∈ Vh ,
через Ph обозначим ортопроектор в VA на Vh . По определению
                     a(u − Ph u, v) = 0 ∀ v ∈ Vh ,                    u ∈ V.
Из условия (1.2) следует, что
        ∥u − Ph u∥ 6 c inf ∥u − v∥ 6 c ϵh (u), c = (MA /mA )1/2 .
                             v∈Vh

Будем предполагать, что выполнены условия (H1 ) – (H3 ). Как было
показано выше, эти условия обеспечивают сходимость приближенных
собственных чисел: µhk → µk при h → 0, k = 1, 2, . . .
   Теорема 1.2. Пусть выполнены условия (H1 )–(H3 ). Тогда при
достаточно малом h справедлива оценка
                     ΘV (U K , UhK ) 6 cK               max           ϵh (u).
                                                   u∈U K , ∥u∥=1

Здесь постоянная cK зависит от µK , но не зависит от h, K > 1.
   Доказательство. Пусть u ∈ U K — собственный элемент. По-
ложим y := Ph u и разложим y по системе {yi } (см. (1.8)). Имеем
                                      b
                                    ∑
                                    Nh
                     y = y0 +             ci yi =: vh + Qh u + wh ,
                                    i=1
                   Nhb                              K −1
                   ∑                             ∑
                                                k+r                                     ∑
                                                                                        k−1
     vh := y0 +            ci yi , Qh u :=                 ci y i ∈   UhK ,     wh :=         c i yi .
                  i=k+rK                          i=k                                   i=1

Рассмотрим величину
               σh (y) :=            sup        |bh (y, ηh ) − µk ah (y, ηh )|.
                             ηh ∈Vh ,∥ηh ∥=1

Страницы