Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

22 Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями
Теорема 1.4. При каждом p ∈ R
+
существует счетное мно-
жество чисел λ
K
(p), K > 1, с единственной точкой накопления
+∞, образующих полный набор собственных чисел задачи (P). Cо-
ответствующие им собственные подпространства U
K
(p), K > 1,
— конечномерны, V
A(p)+B(p)
=
∞
⊕
k=1
U
K
(p) ⊕ ker B(0). Кроме того,
λ
1
(0) := min
K>1
λ
K
(0) = 0, dim U
1
(0) = r
0
.
Доказательство. Задача (P) при фиксированном p является
обобщенной задачей на собственные значения. Преобразуем ее к виду
e
A(p)u =
˜
λB(p)u, u ∈ V \ {0}. (1.21)
Здесь
e
A(p) := A(p) + B(p),
˜
λ := λ + 1. Нетрудно видеть, что
m
AB
I 6
e
A(p) 6
f
M
A
(p)I,
f
M
A
(p) := M
A
(p) + M
B
.
При фиксированном p задача (1.21) была рассмотрена нами ра-
нее. Существование пар
(
λ
K
(p), U
K
(p)
)
непосредственно следуют из
теоремы 1.1. Заключительные утверждения являются очевидными,
так как ker A(0) ∩ ker B(0) = {0} (см. A
3
).
Следствие 1.1. Задача (P) эквивалентна задаче нахождения
при каждом p ∈ R
+
таких чисел λ ∈ R
+
и ненулевых u ∈
e
V , что
a(p, u, v) = λb(p, u, v) ∀v ∈
e
V .
Рассмотрим зависимость собственных чисел от параметра p. Для
этого на плоскости с осями (p, λ) при каждом p ∈ R
+
отметим точки
(p, λ
K
(p)), K = 1, 2, . . . Совокупность этих точек образует на плос-
кости счетное множество кривых (возможно пересекающихся, слива-
ющихся, расщепляющихся и т. д.), которые назовем дисперсионны-
ми (см. далее теорему 1.5). Каждой точке такой кривой, например
(p, λ
K
(p)), соответствует собственное подпространство U
K
(p), раз-
мерность которого (кратность λ
K
(p)) обозначим через r
K
(p) .
Чтобы изучить свойства дисперсионных кривых, нам будет удоб-
но ввести нумерацию чисел λ
K
(p) с учетом кратности. А именно, про-
нумеруем их по возрастанию,
0 6 λ
1
(p) 6 λ
2
(p) 6 λ
3
(p) 6 . . . , λ
n
(p) → ∞ при n → ∞,
22                                  Глава 1. Метод Галеркина с возмущениями


   Теорема 1.4. При каждом p ∈ R+ существует счетное мно-
жество чисел λK (p), K > 1, с единственной точкой накопления
+∞, образующих полный набор собственных чисел задачи (P). Cо-
ответствующие им собственные подпространства U K (p), K > 1,
                             ⊕
                             ∞
— конечномерны, VA(p)+B(p) =   U K (p) ⊕ ker B(0). Кроме того,
                                   k=1

                λ1 (0) := min λK (0) = 0, dim U 1 (0) = r0 .
                          K>1

   Доказательство. Задача (P) при фиксированном p является
обобщенной задачей на собственные значения. Преобразуем ее к виду
                    e
                    A(p)u = λ̃B(p)u,          u ∈ V \ {0}.           (1.21)
      e := A(p) + B(p), λ̃ := λ + 1. Нетрудно видеть, что
Здесь A(p)
                  e 6M
          mAB I 6 A(p) fA (p)I,          fA (p) := MA (p) + MB .
                                         M
    При фиксированном (p задача (1.21) ) была рассмотрена нами ра-
                            K      K
нее. Существование пар λ (p), U (p) непосредственно следуют из
теоремы 1.1. Заключительные утверждения являются очевидными,
так как ker A(0) ∩ ker B(0) = {0} (см. A3 ). 
   Следствие 1.1. Задача (P) эквивалентна задаче нахождения
при каждом p ∈ R+ таких чисел λ ∈ R+ и ненулевых u ∈ Ve , что
                 a(p, u, v) = λb(p, u, v) ∀ v ∈ Ve .         

     Рассмотрим зависимость собственных чисел от параметра p. Для
этого на плоскости с осями (p, λ) при каждом p ∈ R+ отметим точки
(p, λK (p)), K = 1, 2, . . . Совокупность этих точек образует на плос-
кости счетное множество кривых (возможно пересекающихся, слива-
ющихся, расщепляющихся и т. д.), которые назовем дисперсионны-
ми (см. далее теорему 1.5). Каждой точке такой кривой, например
(p, λK (p)), соответствует собственное подпространство U K (p), раз-
мерность которого (кратность λK (p)) обозначим через rK (p) .
     Чтобы изучить свойства дисперсионных кривых, нам будет удоб-
но ввести нумерацию чисел λK (p) с учетом кратности. А именно, про-
нумеруем их по возрастанию,
     0 6 λ1 (p) 6 λ2 (p) 6 λ3 (p) 6 . . . ,    λn (p) → ∞ при n → ∞,

Страницы