Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.2. Обратная задача. 25
3.2. Обратная задача.
Посмотрим на задачу (P) с обратной точки зрения (см. вопросы
(ii)). Будем считать λ > 0 фиксированным и искать такие (p, u) ∈
R
+
× V \ {0}, что
A(p)u = λB(p)u.
Эта задача существенно сложнее, чем (P), поскольку она представ-
ляет собой нелинейную (относительно p) задачу на собственные зна-
чения. Тем не менее, благодаря монотонной зависимости отношения
Рэлея от p, оказывается возможным дать конструктивный ответ на
вопрос (ii). C этой целью рассмотрим “линейную” задачу
A(0)u = λ
0
B(0)u, u ∈ V \ {0}. (1.25)
Эта задача на собственные значения была изучена нами выше. Она
имеет счетное множество неотрицательных собственных чисел λ
0K
,
которые пронумеруем по возрастанию с учетом кратности:
0 = λ
0
1
= λ
0
2
= . . . = λ
0
r
0
< λ
0
r
0
+1
6 λ
0
r
0
+2
6 . . . , λ
0
n
→ ∞ при n → ∞.
Числа λ
0
i
, i > 1 будем называть критическими числами, а на задачу
(1.25) будем ссылаться как на задачу определения критических чисел.
Определим на полуоси R
+
ступенчатую функцию, непрерывную
слева, монотонно возрастающую и принимающую целые значения:
n(x) := max{i : λ
0
i
6 x, i = 1, 2, . . .}.
Отметим, что точками разрыва этой функции являются числа λ
0K
,
на множестве [0, λ
0
r
0
+1
) ее значения равны r
0
.
Теорема 1.6. При каждом λ ∈ R
+
существует в точности
n(λ) таких неотрицательных чисел p
i
(λ) (необязательно различ-
ных) и соответствующих им элементов u
i
(λ) (одинаковым p
i
соот-
ветствуют линейно-независимые u
i
), что (λ, u
i
(λ)) есть решение
задачи (P) при p = p
i
(λ).
Доказательство. Пусть задано неотрицательное число λ,
(λ
i
(p), u
i
(p)), i = 1, 2, . . . — решения задачи (P). Поскольку функции
p → λ
i
(p) строго монотонно возрастают, то алгебраическое уравнение
λ
i
(p) = λ
3.2. Обратная задача.                                                      25


3.2. Обратная задача.

     Посмотрим на задачу (P) с обратной точки зрения (см. вопросы
(ii)). Будем считать λ > 0 фиксированным и искать такие (p, u) ∈
R+ × V \ {0}, что
                         A(p)u = λB(p)u.
Эта задача существенно сложнее, чем (P), поскольку она представ-
ляет собой нелинейную (относительно p) задачу на собственные зна-
чения. Тем не менее, благодаря монотонной зависимости отношения
Рэлея от p, оказывается возможным дать конструктивный ответ на
вопрос (ii). C этой целью рассмотрим “линейную” задачу
                    A(0)u = λ0 B(0)u, u ∈ V \ {0}.                     (1.25)
Эта задача на собственные значения была изучена нами выше. Она
имеет счетное множество неотрицательных собственных чисел λ0K ,
которые пронумеруем по возрастанию с учетом кратности:
0 = λ01 = λ02 = . . . = λ0r0 < λ0r0 +1 6 λ0r0 +2 6 . . . , λ0n → ∞ при n → ∞.
Числа λ0i , i > 1 будем называть критическими числами, а на задачу
(1.25) будем ссылаться как на задачу определения критических чисел.
    Определим на полуоси R+ ступенчатую функцию, непрерывную
слева, монотонно возрастающую и принимающую целые значения:
                 n(x) := max{i : λ0i 6 x, i = 1, 2, . . .}.
Отметим, что точками разрыва этой функции являются числа λ0K ,
на множестве [0, λ0r0 +1 ) ее значения равны r0 .
    Теорема 1.6. При каждом λ ∈ R+ существует в точности
n(λ) таких неотрицательных чисел pi (λ) (необязательно различ-
ных) и соответствующих им элементов ui (λ) (одинаковым pi соот-
ветствуют линейно-независимые ui ), что (λ, ui (λ)) есть решение
задачи (P) при p = pi (λ).
     Доказательство. Пусть задано неотрицательное число λ,
(λi (p), ui (p)), i = 1, 2, . . . — решения задачи (P). Поскольку функции
p → λi (p) строго монотонно возрастают, то алгебраическое уравнение
                                 λi (p) = λ

Страницы