Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4.1. Дискретная задача. 27
Симметричные матричные функции со свойствами (a) и (b) отнесем
к классу L(R
+
, V
h
).
Наложим следующие ограничения на формы a
h
и b
h
:
A
h
1
) |a
h
(p, u, u)| 6 M
a
(p)∥u∥
2
1,Ω
, 0 6 b
h
(p, u, u) 6 M
b
∥u∥
2
1,Ω
, p ∈ R
+
,
u ∈ V
h
, где M
a
— локально ограниченная функция;
A
h
2
) ker B
h
(p) = ker B
h
(0) при каждом p ∈ R
+
;
A
h
3
) A
h
(p) + B
h
(p) > m
ab
I
h
при p ∈ R
+
, m
ab
> 0;
A
h
4
) отнoшение Рэлея a
h
(p, u, u)/b
h
(p, u, u) строго монотонно возрас-
тает по p при любом фиксированном u ∈
e
V
h
, где
e
V
h
есть ортого-
нальное дополнение ker B
h
(0) до пространства V
h,A
h
(p)+B
h
(p)
1)
;
A
h
5
) матричные функции A
h
(p) и B
h
(p) принадлежат классу L(R
+
, V
h
).
Здесь величины M
a
, M
b
и m
ab
считаются не зависящими от h. Поло-
жим N
b
h
:= N
h
− dim ( ker B
h
(0)).
Теорема 1.7. При каждом p ∈ R
+
задача (P
h
) имеет конечное
число (скажем n
h
(p)) собственных чисел λ
hK
(p) суммарной крат-
ности N
b
h
и соответствующих им собственных подпространств
U
K
h
(p), V
h,A
h
(p)+B
h
(p)
=
n
h
(p)
⊕
K=1
U
K
h
(p) ⊕ ker B
h
(0).
Кроме того, если λ
h
1
(p) 6 λ
h
2
(p) 6 . . . 6 λ
h
N
b
h
(p) есть соб-
ственные числа, пронумерованные с учетом кратности, то функ-
ции p → λ
h
i
(p), i = 1, 2, . . . , N
b
h
, являются непрерывными в нуле,
локально липшиц-непрерывными на (0, ∞) и строго монотонно воз-
растающими.
Доказательство. Размерность пространства
e
V
h
равна N
b
h
.
Поскольку ker B
h
(p) = ker B
h
(0) при всех p ∈ R
+
и ker A
h
(0) ∩
ker B
h
(0) = {0} (см. условие A
h
3
), то элементы из ker B
h
(0) не могут
быть собственными элементами. Преобразуем задачу (P
h
) к виду
˜a
h
(p, y, v) =
˜
λ
h
b
h
(p, y, v), v ∈
e
V
h
,
1)
V
h,A
h
(p)+B
h
(p)
есть пространство V
h
с скалярным произведением a
h
(p, ·, ·) + b
h
(p, ·, ·).
4.1. Дискретная задача.                                                                              27


Симметричные матричные функции со свойствами (a) и (b) отнесем
к классу L(R+ , Vh ). 
Наложим следующие ограничения на формы ah и bh :

Ah1 ) |ah (p, u, u)| 6 Ma (p)∥u∥21,Ω , 0 6 bh (p, u, u) 6 Mb ∥u∥21,Ω , p ∈ R+ ,
      u ∈ Vh , где Ma — локально ограниченная функция;
Ah2 ) ker Bh (p) = ker Bh (0) при каждом p ∈ R+ ;
Ah3 ) Ah (p) + Bh (p) > mab Ih при p ∈ R+ , mab > 0;
Ah4 ) отнoшение Рэлея ah (p, u, u)/bh (p, u, u) строго монотонно возрас-
      тает по p при любом фиксированном u ∈ Veh , где Veh есть ортого-
      нальное дополнение ker Bh (0) до пространства Vh,Ah (p)+Bh (p) 1) ;
Ah5 ) матричные функции Ah (p) и Bh (p) принадлежат классу L(R+ , Vh ).

Здесь величины Ma , Mb и mab считаются не зависящими от h. Поло-
жим Nhb := Nh − dim ( ker Bh (0)).
    Теорема 1.7. При каждом p ∈ R+ задача (Ph ) имеет конечное
число (скажем nh (p)) собственных чисел λhK (p) суммарной крат-
ности Nhb и соответствующих им собственных подпространств
                           n⊕
                            h (p)
  K
Uh (p), Vh,Ah (p)+Bh (p) =        UhK (p) ⊕ ker Bh (0).
                                      K=1
   Кроме того, если                6 λh2 (p) 6 . . . 6 λhN b (p) есть соб-
                                     λh1 (p)
                                                          h
ственные числа, пронумерованные с учетом кратности, то функ-
ции p → λhi (p), i = 1, 2, . . . , Nhb , являются непрерывными в нуле,
локально липшиц-непрерывными на (0, ∞) и строго монотонно воз-
растающими.
   Доказательство. Размерность пространства Veh равна N b .                                          h
Поскольку ker Bh (p) = ker Bh (0) при всех p ∈ R+ и ker Ah (0) ∩
ker Bh (0) = {0} (см. условие Ah3 ), то элементы из ker Bh (0) не могут
быть собственными элементами. Преобразуем задачу (Ph ) к виду

                           ãh (p, y, v) = λ̃h bh (p, y, v),        v ∈ Veh ,
 1)
      Vh,Ah (p)+Bh (p) есть пространство Vh с скалярным произведением ah (p, ·, ·) + bh (p, ·, ·).

Страницы