Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4.2. Оценки точности. 29
A
h
6
) sup
f∈V
h
, ∥f∥=1
(E
b
(f) + E
b
(P
h
T (p)f) + E
a
(P
h
T (p)f)) → 0 при h → 0,
где T (p) :=
(
A(p) + B(p)
)
−1
B(p).
Теорема 1.8. Пусть выполнены условия (H
1
), A
1
−A
5
, A
h
1
−A
h
6
,
max
u∈U
K
, ∥u∥=1
ϵ
h
(u) → 0 при h → 0. Тогда для любого p ∈ R
+
и K > 1
при достаточно малом h имеют место оценки
Θ
V
(U
K
(p), U
K
h
(p)) 6 c
K
max
u∈U
K
(p), ∥u∥=1
ϵ
h
(u),
|λ
K
(p) − λ
h
i
(p)| 6 c
K
max
u∈U
K
(p),∥u∥=1
(
ϵ
2
h
(u) + Σ
h
(P
h
u)
)
,
где постоянная c
K
зависит от λ
K
(p) и p, но не зависит от h.
Доказательство. Воспользуемся результатами § 2. Исходную
задачу (P) представим в виде
b(p, u, v) = µ˜a(p, u, v) ∀v ∈ V,
где ˜a := a + b, µ := (λ + 1)
−1
. При фиксированном p эта задача типа
(P
µ
). Задачу (P
h
) представим в виде ее аппроксимации (P
h
µ
):
b
h
(p, y, v) = µ
h
˜a
h
(p, y, v) ∀v ∈ V
h
,
где ˜a
h
:= a
h
+b
h
, µ
h
:= (λ
h
+1)
−1
. Из условий A
h
2
, A
h
3
и A
h
6
следует, что
выполнены условия (H
2
) и (H
3
). Поэтому мы можем воспользоваться
теоремой 1.2, из которой следует первая оценка теоремы.
Из теоремы 1.3 вытекает, что
|µ
K
(p) − µ
h
i
(p)| 6 c
K
max
u∈U
K
(p),∥u∥=1
(
ϵ
2
h
(u) + Σ
h
(P
h
u)
)
.
Отсюда следует вторая оценка, поскольку при достаточно малом h
|λ
K
(p) − λ
h
i
(p)| = |1/µ
K
(p) − 1/µ
h
i
(p)| 6 c
K
|µ
K
(p) − µ
h
i
(p)|. 
4.2. Оценки точности.                                                                29


Ah6 )         sup      (Eb (f ) + Eb (Ph T (p)f ) + Ea (Ph T (p)f )) → 0 при h → 0,
          f ∈Vh , ∥f ∥=1
            (           )−1
где T (p) := A(p) + B(p) B(p).
   Теорема 1.8. Пусть выполнены условия (H1 ), A1 − A5 , Ah1 − Ah6 ,
maxu∈U K , ∥u∥=1 ϵh (u) → 0 при h → 0. Тогда для любого p ∈ R+ и K > 1
при достаточно малом h имеют место оценки

                      ΘV (U K (p), UhK (p)) 6 cK          max      ϵh (u),
                                                    u∈U K (p), ∥u∥=1
                                                         (2                     )
              |λK (p) − λhi (p)| 6    cK     max           ϵh (u) +    Σh (Ph u) ,
                                         u∈U K (p),∥u∥=1

где постоянная cK зависит от λK (p) и p, но не зависит от h.
   Доказательство. Воспользуемся результатами § 2. Исходную
задачу (P) представим в виде

                             b(p, u, v) = µã(p, u, v) ∀ v ∈ V,

где ã := a + b, µ := (λ + 1)−1 . При фиксированном p эта задача типа
(Pµ ). Задачу (Ph ) представим в виде ее аппроксимации (Pµh ):

                           bh (p, y, v) = µh ãh (p, y, v) ∀ v ∈ Vh ,

где ãh := ah +bh , µh := (λh +1)−1 . Из условий Ah2 , Ah3 и Ah6 следует, что
выполнены условия (H2 ) и (H3 ). Поэтому мы можем воспользоваться
теоремой 1.2, из которой следует первая оценка теоремы.
    Из теоремы 1.3 вытекает, что
                                              (2                    )
          |µK (p) − µhi (p)| 6 cK    K
                                      max      ϵ h (u) + Σ h (Ph u)  .
                                          u∈U (p),∥u∥=1

Отсюда следует вторая оценка, поскольку при достаточно малом h

        |λK (p) − λhi (p)| = |1/µK (p) − 1/µhi (p)| 6 cK |µK (p) − µhi (p)|. 

Страницы