Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Постановка задачи в ограниченной области 31
Здесь
Λ := {(β, k) : β/
√
ε
+
< k < β/
√
ε
∞
, β > 0}.
Отметим, что в Ω
e
:= R
2
\Ω
i
уравнение (2.2) имеет вид
−∆u + p
2
u = 0, p := (β
2
− k
2
ε
∞
)
1/2
. (2.3)
Параметр p определяет скорость затухания решения u на бесконеч-
ности и называется поперечным волновым числом.
На задачу (2.2) можно смотреть как на параметрическую спек-
тральную задачу, считая параметром либо β, либо k.
§ 1. Постановка задачи в ограниченной области
Введем новую пару неизвестных параметров (β, p), предполагая,
что p и k связаны равенством
p = (β
2
− k
2
ε
∞
)
1/2
, (2.4)
и множество
K := {(β, p) : β > 0, 0 < p <
√
(ε
+
− ε
∞
)/ε
+
β}.
Легко проверяется, что формула (2.4) устанавливает взаимно-одно-
значное соответствие между Λ и K.
1)
Укажем два метода, каждый из которых позволяет свести исход-
ную задачу в неограниченной области (на плоскости) к задаче в огра-
ниченной области (в круге). Первый метод основывается на диффе-
ренциальном уравнении (2.2), а второй — на ее слабой форме (P
∞
).
1.1. Первый метод.
Рассмотрим новую задачу: найти (β, p) ∈ K и ненулевые u ∈
H
1
(R
2
), удовлетворяющие п. вс. в R
2
уравнению
−∆u + p
2
σu = β
2
(σ − 1)u, σ = ε/ε
∞
. (2.5)
Легко заметить, что уравнение (2.5) переходит в (2.2) при условии
(2.4) и наоборот. Поэтому эти задачи эквивалентны в том смысле,
1)
достаточно заметить, что лучи {k = k
0
β, β ∈ R
+
}, лежащие в Λ, преобразуются в лучи
{p = p
0
β, β ∈ R
+
} из K, p
2
0
= 1 −k
2
0
ε
∞
.
§ 1. Постановка задачи в ограниченной области                                        31


Здесь
                                 √           √
                Λ := {(β, k) : β/ ε+ < k < β/ ε∞ , β > 0}.
Отметим, что в Ωe := R2 \Ωi уравнение (2.2) имеет вид
                   −∆u + p2 u = 0,         p := (β 2 − k 2 ε∞ )1/2 .              (2.3)
Параметр p определяет скорость затухания решения u на бесконеч-
ности и называется поперечным волновым числом.
   На задачу (2.2) можно смотреть как на параметрическую спек-
тральную задачу, считая параметром либо β, либо k.

        § 1. Постановка задачи в ограниченной области

   Введем новую пару неизвестных параметров (β, p), предполагая,
что p и k связаны равенством
                               p = (β 2 − k 2 ε∞ )1/2 ,                           (2.4)
и множество
                                                  √
             K := {(β, p) : β > 0, 0 < p <         (ε+ − ε∞ )/ε+ β}.
Легко проверяется, что формула (2.4) устанавливает взаимно-одно-
значное соответствие между Λ и K.1)
   Укажем два метода, каждый из которых позволяет свести исход-
ную задачу в неограниченной области (на плоскости) к задаче в огра-
ниченной области (в круге). Первый метод основывается на диффе-
ренциальном уравнении (2.2), а второй — на ее слабой форме (P∞ ).

1.1. Первый метод.

   Рассмотрим новую задачу: найти (β, p) ∈ K и ненулевые u ∈
H (R2 ), удовлетворяющие п. вс. в R2 уравнению
  1


                   −∆u + p2 σu = β 2 (σ − 1)u,            σ = ε/ε∞ .              (2.5)
Легко заметить, что уравнение (2.5) переходит в (2.2) при условии
(2.4) и наоборот. Поэтому эти задачи эквивалентны в том смысле,
  1)
    достаточно заметить, что лучи {k = k0 β, β ∈ R+ }, лежащие в Λ, преобразуются в лучи
{p = p0 β, β ∈ R+ } из K, p20 = 1 − k02 ε∞ .

Страницы