Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

34 Глава 2. Скалярная задача
Замечание 2.4. Условие (β, p) ∈ K в формулировке задачи (P) не является огра-
ничением. Действительно, множество K допускает следующее эквивалентное опреде-
ление:
K := {(β, p) : p > 0, β > (ε
+
/(ε
+
− ε
∞
))
1/2
p}.
Если (β, p, u) удовлетворяет тождеству (P), то нетрудно видеть, что (1 6 σ 6 ε
+
/ε
∞
)
∫
Ω
(|∇u|
2
+ β
2
u
2
) dx + s
∞
(p, u, u) =
∫
Ω
σ(β
2
− p
2
)u
2
dx.
Отсюда следует β
2
> p
2
, так как s
∞
(p, u, u) > 0, а также оценка β
2
< ε
+
/ε
∞
(β
2
− p
2
),
равносильная оценке β > (ε
+
/(ε
+
− ε
∞
))
1/2
p; следовательно, (β, p) ∈ K.
Поэтому задачу (P) можно рассматривать как задачу на собственные значения
относительно β
2
, а p > 0 — считать параметром. Задачи такого типа были рассмотрены
нами в предыдущей главе.
Прежде чем перейти к второму методу вывода задачи (P), рас-
смотрим эквивалентные нормировки пространства H
1/2
(Γ) и укажем
гладкие продолжения функций из H
1
(Ω) с сохранением класса. На
этой основе мы получим другое представление формы s
∞
.
1.2. Пространство H
1/2
(Γ).
Используем общепринятое обозначение H
1/2
(Γ) для пространства
следов на Γ функций из H
1
(R
2
) (см., напр., [19, с. 55]); через u|
Γ
будем
обозначать след функции u на Γ
1)
. Норма в H
1/2
(Γ) может быть
определена следующими двумя эквивалентными способами
2)
:
∥u∥
1/2,Γ
:= inf
v∈H
1
(Ω), v|
Γ
=u
∥v∥
1,Ω
, |u|
1/2,Γ
:= inf
v∈H
1
(Ω
∞
), v|
Γ
=u
∥v∥
1,Ω
∞
.
Известно, что H
1/2
(Γ) ⊂ L
2
(Γ), бесконечно-дифференцируемые
функции образуют плотное подмножество в нем. В частности, ряд
Фурье функции u ∈ H
1/2
(Γ)
∞
∑
n=−∞
a
n
(u) e
inφ
, a
n
(u) =
1
2π
2π
∫
0
u(Rφ) e
−inφ
dφ,
3)
(2.10)
1)
понятие следа обобщает понятие сужения. Для гладких функций эти понятия совпадают.
2)
две нормы ∥ · ∥
(1)
и ∥ · ∥
(2)
эквивалентны на V , если c
1
∥u∥
(2)
6 ∥u∥
(1)
6 c
2
∥u∥
(2)
∀u ∈ V ,
c
1
> 0. Числа c
1
и c
2
называют постоянными эквивалентности.
3)
s = Rφ есть дуговая координата на Γ
34                                                                 Глава 2. Скалярная задача


    Замечание 2.4. Условие (β, p) ∈ K в формулировке задачи (P) не является огра-
ничением. Действительно, множество K допускает следующее эквивалентное опреде-
ление:
                   K := {(β, p) : p > 0, β > (ε+ /(ε+ − ε∞ ))1/2 p}.
Если (β, p, u) удовлетворяет тождеству (P), то нетрудно видеть, что (1 6 σ 6 ε+ /ε∞ )
                  ∫                                  ∫
                    (|∇u| + β u ) dx + s∞ (p, u, u) = σ(β 2 − p2 )u2 dx.
                         2    2 2

                     Ω                                       Ω

Отсюда следует β 2 > p2 , так как s∞ (p, u, u) > 0, а также оценка β 2 < ε+ /ε∞ (β 2 − p2 ),
равносильная оценке β > (ε+ /(ε+ − ε∞ ))1/2 p; следовательно, (β, p) ∈ K.
    Поэтому задачу (P) можно рассматривать как задачу на собственные значения
относительно β 2 , а p > 0 — считать параметром. Задачи такого типа были рассмотрены
нами в предыдущей главе.

   Прежде чем перейти к второму методу вывода задачи (P), рас-
смотрим эквивалентные нормировки пространства H 1/2 (Γ) и укажем
гладкие продолжения функций из H 1 (Ω) с сохранением класса. На
этой основе мы получим другое представление формы s∞ .

1.2. Пространство H 1/2 (Γ).

   Используем общепринятое обозначение H 1/2 (Γ) для пространства
следов на Γ функций из H 1 (R2 ) (см., напр., [19, с. 55]); через u|Γ будем
обозначать след функции u на Γ 1) . Норма в H 1/2 (Γ) может быть
определена следующими двумя эквивалентными способами2) :

       ∥u∥1/2,Γ :=         inf           ∥v∥1,Ω ,   |u|1/2,Γ :=          inf            ∥v∥1,Ω∞ .
                     v∈H 1 (Ω), v|Γ =u                            v∈H 1 (Ω∞ ), v|Γ =u

Известно, что H 1/2 (Γ) ⊂ L2 (Γ), бесконечно-дифференцируемые
функции образуют плотное подмножество в нем. В частности, ряд
Фурье функции u ∈ H 1/2 (Γ)

            ∞
            ∑                                        ∫2π
                                               1
                  an (u) einφ ,      an (u) =              u(Rφ) e−inφ dφ, 3)                 (2.10)
           n=−∞
                                              2π
                                                      0
  1)
      понятие следа обобщает понятие сужения. Для гладких функций эти понятия совпадают.
  2)
      две нормы ∥ · ∥(1) и ∥ · ∥(2) эквивалентны на V , если c1 ∥u∥(2) 6 ∥u∥(1) 6 c2 ∥u∥(2) ∀ u ∈ V ,
c1 > 0. Числа c1 и c2 называют постоянными эквивалентности.
   3)
      s = Rφ есть дуговая координата на Γ

Страницы