Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

36 Глава 2. Скалярная задача
Таким образом, используя интегрирование по частям, имеем:
∥u
N
∥
2
1/2,Γ
:= ∥˜u
N
∥
2
1,Ω
=
∫
Ω
(−△˜u
N
+ ˜u
N
)˜u
N
dx +
∫
Γ
∂˜u
N
∂r
u
N
ds =
=
∫
Γ
∂˜u
N
∂r
¯u
N
ds = 2π
N
∑
n=−N
I
n
(R) |a
n
(u)|
2
.
Переходя здесь к пределу при N → ∞, получим первую формулу.
Аналогично получается вторая формула. При этом внутренняя крае-
вая задача заменяется на внешнюю (в области Ω
∞
), функция Бесселя
I
n
— на K
n
.
Замечание 2.5. Целью данного замечания является вариационное описание
функций R → I
n
(R) и R → K
n
(R), R > 0. Как показано выше
2π
∞
∑
n=−∞
I
n
(R) |a
n
(u)|
2
= inf
v∈H
1
(B
R
), v|
∂B
R
=u
{
∫
B
R
(|∇v|
2
+ |v|
2
) dx
}
. (2.11)
Выберем здесь u =
(
e
ikφ
+ e
−ikφ
)
/2 = cos(kφ). Тогда левая часть в (2.11) будет равна
c
k
I
k
(R), где все c
k
= π, кроме c
0
= 2π (поскольку I
−n
(R) = I
n
(R), см. далее). В правой
части сделаем замену переменных в интеграле (r := r/R), переходя к единичному кругу
B
1
. В результате получим для любого целого k следующую формулу:
I
k
(R) =
1
c
k
inf
v∈H
1
(B
1
), v|
∂B
1
=cos(kφ)
{
∫
B
1
(|∇v|
2
+ R
2
|v|
2
) dx
}
.
Обозначая через B
∞
1
дополнение B
1
до R
2
, аналогично получим
K
k
(R) =
1
c
k
inf
v∈H
1
(B
∞
1
), v|
∂B
∞
1
=cos(kφ)
{
∫
B
∞
1
(|∇v|
2
+ R
2
|v|
2
) dx
}
.
Отсюда следует, в частности, что функция r → K
n
(r) (как и r → I
n
(r)) — строго
монотонно возрастает при всех целых n и K
k
(R) 6 (R/R
0
)
2
K
k
(R
0
) при R > R
0
.
Лемма 2.2. Для всех целых n справедливы оценки
I
n
(r) 6 K
n
(r) 6 c
2
0
(r) I
n
(r), r ∈ R
+
,
где c
0
— непрерывная на (0, ∞) монотонно убывающая функция;
c
0
(r) → +∞ при r → 0.
36                                                                         Глава 2. Скалярная задача


Таким образом, используя интегрирование по частям, имеем:
                          ∫                       ∫
                                                    ∂ ũN
 ∥uN ∥1/2,Γ := ∥ũN ∥1,Ω = (−△ũN + ũN )ũN dx +
      2              2
                                                          uN ds =
                                                     ∂r
                                     Ω                                          Γ
                                              ∫                                 ∑N
                                                   ∂ ũN
                                         =               ūN ds = 2π                  In (R) |an (u)|2 .
                                                    ∂r
                                               Γ                               n=−N

Переходя здесь к пределу при N → ∞, получим первую формулу.
Аналогично получается вторая формула. При этом внутренняя крае-
вая задача заменяется на внешнюю (в области Ω∞ ), функция Бесселя
In — на Kn . 
    Замечание 2.5. Целью данного замечания является вариационное описание
функций R → In (R) и R → Kn (R), R > 0. Как показано выше
                  ∞
                  ∑                                                   {∫                     }
             2π          In (R) |an (u)|2 =           inf                  (|∇v|2 + |v|2 ) dx .     (2.11)
                                              v∈H 1 (BR ), v|∂BR =u
                  n=−∞
                                                                      BR
                      (               )
Выберем здесь u = eikφ + e−ikφ /2 = cos(kφ). Тогда левая часть в (2.11) будет равна
ck Ik (R), где все ck = π, кроме c0 = 2π (поскольку I−n (R) = In (R), см. далее). В правой
части сделаем замену переменных в интеграле (r := r/R), переходя к единичному кругу
B1 . В результате получим для любого целого k следующую формулу:
                            1                             {∫                      }
                  Ik (R) =                 inf               (|∇v|2 + R2 |v|2 ) dx .
                           ck v∈H 1 (B1 ), v|∂B1 =cos(kφ)
                                                             B1

Обозначая через B1∞ дополнение B1 до R2 , аналогично получим

                      1                                {∫                       }
             Kk (R) =                  inf                (|∇v|2
                                                                 + R 2
                                                                       |v|2
                                                                            ) dx .
                      ck v∈H 1 (B1∞ ), v|∂B1∞ =cos(kφ)
                                                              B1∞

Отсюда следует, в частности, что функция r → Kn (r) (как и r → In (r)) — строго
монотонно возрастает при всех целых n и Kk (R) 6 (R/R0 )2 Kk (R0 ) при R > R0 .

     Лемма 2.2. Для всех целых n справедливы оценки

                         In (r) 6 Kn (r) 6 c20 (r) In (r), r ∈ R+ ,

где c0 — непрерывная на (0, ∞) монотонно убывающая функция;
c0 (r) → +∞ при r → 0.

Страницы